Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów $0°$, $30°$, $45°$, $60°$, $90°$ wynoszą:

$α$ $0°$ $30°$ $45°$ $60°$ $90°$
$sinα$ $0$ $\frac 12$ $\frac{\sqrt2}{2}$ $\frac{\sqrt3}{2}$ $1$
$cosα$ $1$ $\frac{\sqrt3}{2}$ $\frac{\sqrt2}{2}$ $\frac 12$ $0$
$tgα$ $0$ $\frac{\sqrt3}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ $1$
$ctgα$ nie

istnieje

$\sqrt{3}$ $1$ $\frac{\sqrt3}{3}$

nie

istnieje

Uwaga: Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne – CKE strona 15.

Przykład: Oblicz długość boku $x$.

a)
b)
c)
a) Korzystamy z cosinusa:
$cos45° = \frac{x}{4}$$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{x}{4}$
Wymnażamy “na krzyż”:
$2x = 4\sqrt{2}$
$x = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 4$$ = 2\sqrt{2}$
b) Korzystamy z tangensa:
$tg60° = \frac{\sqrt{3}}{x}$
$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{x}$
$\sqrt{3}x = 3\sqrt{3}\hspace{0,5cm}|:\sqrt{3}$
$x = 3$
c) Korzystamy z sinusa:
$sin30° = \frac{8}{x}$
$\frac 12 = \frac{8}{x}$
$x = 16$

Przykład: Oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa ma długość $4$, a ramię długości $6$ tworzy z dłuższą podstawą kąt $30°$.

Zaznaczamy dane na rysunku:

Musimy znaleźć długość odcinków $x$ oraz wysokości $h$. Możemy “wyjąć” trójkąt z trapeza.

Korzystając z tego, że $sin30° = \frac 12$ obliczamy

$sin30° = \frac{h}{6}$

$\frac 12 = \frac h6$

Wymnażamy “na krzyż”

$2h = 6$

$h = 3$

Na tym etapie $x$ możesz wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa lub wiedząc, że

$cos30° = \frac{x}{6}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{6}$

Wymnażamy “na krzyż”

$2x = 6\sqrt{3}$

$x = 3\sqrt{3}$

Obliczamy pole i obwód trapezu:

  • wysokość: $h = 3$
  • długość krótszej podstawy: $a = 4$
  • długość dłuższej podstawy: $b = 4 + 2x$$ = 4 + 2\sqrt{3}$$ = 4 + 6\sqrt{3}$
  • długość ramienia: $c = 6$

$P = \frac 12 \cdot (a + b) \cdot h $$ = \frac 12 \cdot (4 + 4 + 6\sqrt{3}) \cdot 3$$ = \frac{3}{2}\cdot(8+6\sqrt{3})=\frac{24+18\sqrt{3}}{2}$$ = 12 + 9\sqrt{3}$

Obwód trapezu:

$L = a + b + 2\cdot c$$ = 4 + 4 + 6\sqrt{3} + 2 \cdot 6$$ = 8 + 6 \sqrt{3} + 12$$ = 20 + 6\sqrt{3}$

Odpowiedź: Pole trapezu wynosi $ 12 + 9\sqrt{3}$, zaś obwód $ 20 + 6\sqrt{3}$.

Przykład: Przekątna prostokąta ma długość $4$ i tworzy z dłuższym bokiem kąt $60°$. Oblicz obwód i pole prostokąta.

Z sinusa i cosinusa wyliczamy brakujące długości:

$sin60° = \frac{b}{4}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac {b}{4}$

$4\sqrt 3 = 2b$

$b = 2\sqrt{3}$

$cos60° = \frac{a}{4}$

$\frac 12 = \frac{a}{4}$

$2a = 4$

$a = 2$

(Tu ponownie można zastosować twierdzenia Pitagorasa znając już jeden bok.)

$P = a \cdot b$$ = 2 \cdot 2\sqrt{3}$$ = 4\sqrt{3}$

$L = 2a + 2b$$ = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2\sqrt{3}$$ = 4 + 4\sqrt{3}$

Odpowiedź: Pole prostokąta wynosi $ 4\sqrt{3}$, zaś obwód $ 4 + 4\sqrt{3}$.

Przykład: Obwód trójkąta, przedstawionego na rysunku, jest równy:

a) $(3 + \frac{\sqrt{3}}{2})a$

b) $(2 + \frac{\sqrt{2}}{2})a$

c) $(3 + \sqrt{3})a$

d) $(2 + \sqrt{2})a$

Musimy uzależnić długości ΙABΙ i ΙACΙ względem $a$. Z sinusa wyliczamy ΙACΙ:

$sin30° = \frac{a}{\left|AC\right|}$

$\frac 12 = \frac{a}{\left|AC\right|}$

$\left|AC\right| = 2a$

Z cosinusa wyznaczamy ΙABΙ:

$cos30° = \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}$

$2\sqrt{3}a = 2\left|AB\right|\hspace{0,5cm}|: 2$

$\left|AB\right| = \sqrt{3}a$

Otrzymujemy obwód:

$L = a + \sqrt{3}a + 2a$$ = 3a + \sqrt{3}a$

Wyciągamy $a$ przed nawias: $L = a(3 + \sqrt{3})$

Odpowiedź: Obwód tego trójkąta wynosi $L = a(3 + \sqrt{3})$ – zatem odpowiedź c).

 

0