Wierzchołek paraboli pomaga określić położenie wykresu funkcji kwadratowej oraz jej najmniejszą lub największą wartość. Poznaj wzory na współrzędne wierzchołka i ich związek z postacią kanoniczną funkcji.
Wierzchołek funkcji kwadratowej - wzór na współrzędne wierzchołka paraboli
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku oznaczonym punktem Wzór matematyczny: W równa się nawias otwierający p przecinek q nawias zamykający. W = ( p , q )
Wierzchołek funkcji kwadratowej dla funkcji postaci Wzór matematyczny: f nawias otwierający x nawias zamykający równa się a x do kwadratu plus b x plus c. f ( x ) = a x 2 + b x + c
Wzór matematyczny: p równa się minus ułamek: licznik b; mianownik 2 a; koniec ułamka przecinek q równa się minus ułamek: licznik delta; mianownik 4 a; koniec ułamka. p = − b 2 a , q = − Δ 4 a
gdzie Wzór matematyczny: delta równa się b do kwadratu minus 4 a c. Δ = b 2 − 4 a c Wzór matematyczny: W równa się nawias otwierający minus ułamek: licznik b; mianownik 2 a; koniec ułamka przecinek minus ułamek: licznik delta; mianownik 4 a; koniec ułamka nawias zamykający. W = ( − b 2 a , − Δ 4 a )
Współrzędne wierzchołka będą potrzebne do wyznaczania zbioru wartości funkcji czy jej przedziałów monotoniczności .
Przykład: Wyznacz współrzędne wierzchołka dla funkcji Wzór matematyczny: f nawias otwierający x nawias zamykający równa się 2 x do kwadratu plus 6 x minus 2. f ( x ) = 2 x 2 + 6 x − 2
Odczytujemy współrzędne Wzór matematyczny: a przecinek b przecinek c. a , b , c Wzór matematyczny: a równa się 2. a = 2 Wzór matematyczny: b równa się 6. b = 6 Wzór matematyczny: c równa się minus 2. c = − 2
Obliczamy deltę:
Wzór matematyczny: delta równa się 6 do kwadratu minus 4 razy 2 razy nawias otwierający minus 2 nawias zamykający. Δ = 6 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( − 2 ) Wzór matematyczny: równa się 36 minus nawias otwierający minus 16 nawias zamykający. = 36 − ( − 16 ) Wzór matematyczny: równa się 36 plus 16 równa się 52. = 36 + 16 = 52
Podstawiamy nasze dane do wzoru na Wzór matematyczny: p. p Wzór matematyczny: q. q
Wzór matematyczny: p równa się ułamek: licznik minus b; mianownik 2 a; koniec ułamka. p = − b 2 a Wzór matematyczny: równa się ułamek: licznik minus 6; mianownik 2 razy 2; koniec ułamka. = − 6 2 ⋅ 2 Wzór matematyczny: równa się ułamek: licznik minus 6; mianownik 4; koniec ułamka. = − 6 4 Wzór matematyczny: równa się ułamek: licznik minus 3; mianownik 2; koniec ułamka. = − 3 2 Wzór matematyczny: równa się minus 1 przecinek 5. = − 1 , 5
Wzór matematyczny: q równa się ułamek: licznik minus delta; mianownik 4 a; koniec ułamka. q = − Δ 4 a Wzór matematyczny: równa się ułamek: licznik minus 52; mianownik 4 razy 2; koniec ułamka. = − 52 4 ⋅ 2 Wzór matematyczny: równa się ułamek: licznik minus 52; mianownik 8; koniec ułamka. = − 52 8 Wzór matematyczny: równa się minus 6 przecinek 5. = − 6 , 5
Odpowiedź: Wierzchołek jest w punkcie Wzór matematyczny: W równa się nawias otwierający minus 1 przecinek 5 przecinek minus 6 przecinek 5 nawias zamykający. W = ( − 1 , 5 , − 6 , 5 )
Wierzchołek funkcji a jej postać kanoniczna
Postać kanoniczna funkcji wyraża się wzorem
Wzór matematyczny: f nawias otwierający x nawias zamykający równa się a nawias otwierający x minus p nawias zamykający do kwadratu plus q. f ( x ) = a ( x − p ) 2 + q
Z tej postaci od razu możemy wprost odczytać współrzędne wierzchołka
Wzór matematyczny: p. p ,
Wzór matematyczny: q. q .
Przykład: Dana jest funkcja Wzór matematyczny: f nawias otwierający x nawias zamykający równa się 3 nawias otwierający x minus 5 nawias zamykający do kwadratu plus 4. f ( x ) = 3 ( x − 5 ) 2 + 4
Widzimy, że jest to wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Zatem porównując wzór naszej funkcji ze wzorem Wzór matematyczny: f nawias otwierający x nawias zamykający równa się a nawias otwierający x minus p nawias zamykający do kwadratu plus q. f ( x ) = a ( x − p ) 2 + q Wzór matematyczny: p równa się 5. p = 5 Wzór matematyczny: q równa się 4. q = 4
Odpowiedź: Wierzchołek paraboli tej funkcji jest w punkcie Wzór matematyczny: W równa się nawias otwierający 5 przecinek 4 nawias zamykający. W = ( 5 , 4 )
Przykład: Wyznacz wierzchołek funkcji.
a) Wzór matematyczny: f nawias otwierający x nawias zamykający równa się nawias otwierający x minus 2 nawias zamykający do kwadratu plus 1. f ( x ) = ( x − 2 ) 2 + 1
b) Wzór matematyczny: f nawias otwierający x nawias zamykający równa się 2 nawias otwierający x plus 1 nawias zamykający do kwadratu. f ( x ) = 2 ( x + 1 ) 2
c) Wzór matematyczny: f nawias otwierający x nawias zamykający równa się x do kwadratu minus 2. f ( x ) = x 2 − 2
d) Wzór matematyczny: f nawias otwierający x nawias zamykający równa się 2 x do kwadratu. f ( x ) = 2 x 2
a) Wzór matematyczny: W równa się nawias otwierający 2 przecinek 1 nawias zamykający. W = ( 2 , 1 )
b) Wzór matematyczny: W równa się nawias otwierający minus 1 przecinek 0 nawias zamykający. W = ( − 1 , 0 )
c) Możemy to funkcję zapisać Wzór matematyczny: f nawias otwierający x nawias zamykający równa się nawias otwierający x minus 0 nawias zamykający do kwadratu minus 2. f ( x ) = ( x − 0 ) 2 − 2 Wzór matematyczny: W równa się nawias otwierający 0 przecinek minus 2 nawias zamykający. W = ( 0 , − 2 )
d) Podobnie jak wyżej możemy to rozpisać: Wzór matematyczny: f nawias otwierający x nawias zamykający równa się 2 nawias otwierający x minus 0 nawias zamykający do kwadratu plus 0. f ( x ) = 2 ( x − 0 ) 2 + 0 Wzór matematyczny: W równa się nawias otwierający 0 przecinek 0 nawias zamykający. W = ( 0 , 0 )
Uwaga: Funkcja kwadratowa postaci
Wzór matematyczny: f nawias otwierający x nawias zamykający równa się a x do kwadratu. f ( x ) = a x 2 ma zawsze wierzchołek w punkcie
Wzór matematyczny: W równa się nawias otwierający 0 przecinek 0 nawias zamykający. W = ( 0 , 0 ) .
Przykład : (CKE) Dana jest parabola o równaniu Wzór matematyczny: y równa się x do kwadratu plus 8 x minus 14. y = x 2 + 8 x − 14
A. Wzór matematyczny: x równa się minus 8. x = − 8 Odstęp typograficzny pomiędzy wyrażeniami matematycznymi. B. Wzór matematyczny: x równa się minus 4. x = − 4 Odstęp typograficzny pomiędzy wyrażeniami matematycznymi. C. Wzór matematyczny: x równa się 4. x = 4 Odstęp typograficzny pomiędzy wyrażeniami matematycznymi. D. Wzór matematyczny: x równa się 8. x = 8
Mamy dane: Wzór matematyczny: a równa się 1. a = 1 Wzór matematyczny: b równa się 8. b = 8 Wzór matematyczny: c równa się minus 14. c = − 14
Obliczamy pierwszą współrzędna wierzchołka:
Wzór matematyczny: p równa się ułamek: licznik minus 8; mianownik 2 razy 1; koniec ułamka. p = − 8 2 ⋅ 1 Wzór matematyczny: równa się ułamek: licznik minus 8; mianownik 2; koniec ułamka równa się minus 4. = − 8 2 = − 4
Odpowiedź: Pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa Wzór matematyczny: minus 4. − 4 B. .
Przykład: Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu Wzór matematyczny: f nawias otwierający x nawias zamykający równa się 2 nawias otwierający x minus 1 nawias zamykający nawias otwierający x plus 3 nawias zamykający. f ( x ) = 2 ( x − 1 ) ( x + 3 )
Z takiej postaci funkcji wprost odczytujemy jej miejsca zerowe: Wzór matematyczny: x z indeksem dolnym: 1; koniec indeksu równa się 1. x 1 = 1 Wzór matematyczny: x z indeksem dolnym: 2; koniec indeksu równa się minus 3. x 2 = − 3
Uwaga: Wierzchołek jest punktem należącym do osi symetrii paraboli, czyli średnia arytmetyczna jej miejsc zerowych jest pierwszą współrzędną wierzchołka.
Zgodnie z uwagą:
Wzór matematyczny: p równa się ułamek: licznik x z indeksem dolnym: 1; koniec indeksu plus x z indeksem dolnym: 2; koniec indeksu; mianownik 2; koniec ułamka. p = x 1 + x 2 2 Wzór matematyczny: równa się ułamek: licznik 1 plus nawias otwierający minus 3 nawias zamykający; mianownik 2; koniec ułamka. = 1 + ( − 3 ) 2 Wzór matematyczny: równa się ułamek: licznik minus 2; mianownik 2; koniec ułamka równa się minus 1. = − 2 2 = − 1 Wartość funkcji dla
Wzór matematyczny: p równa się minus 1. p = − 1 obliczamy stosując jej wzór:
Wzór matematyczny: q równa się f nawias otwierający p nawias zamykający równa się f nawias otwierający minus 1 nawias zamykający. q = f ( p ) = f ( − 1 ) Wzór matematyczny: równa się 2 nawias otwierający minus 1 minus 1 nawias zamykający nawias otwierający minus 1 plus 3 nawias zamykający. = 2 ( − 1 − 1 ) ( − 1 + 3 ) Wzór matematyczny: równa się 2 razy nawias otwierający minus 2 nawias zamykający razy 2. = 2 ⋅ ( − 2 ) ⋅ 2 Wzór matematyczny: równa się minus 8. = − 8
Odpowiedź: Współrzędne wierzchołka to Wzór matematyczny: W równa się nawias otwierający minus 1 przecinek minus 8 nawias zamykający. W = ( − 1 , − 8 )
Przykład: Dla danej funkcji Wzór matematyczny: f nawias otwierający x nawias zamykający równa się minus x do kwadratu plus 2 x minus 7. f ( x ) = − x 2 + 2 x − 7
Aby wyznaczyć zbiór wartości policzymy wierzchołek. Mamy dane:
Wzór matematyczny: a równa się minus 1. a = − 1 Wzór matematyczny: b równa się 2. b = 2 Wzór matematyczny: c równa się minus 7. c = − 7
Obliczamy deltę:
Wzór matematyczny: delta równa się 2 do kwadratu minus 4 razy nawias otwierający minus 1 nawias zamykający razy nawias otwierający minus 7 nawias zamykający. Δ = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 7 ) Wzór matematyczny: równa się 4 minus 28. = 4 − 28 Wzór matematyczny: równa się minus 24. = − 24
Wyznaczamy wierzchołek:
Wzór matematyczny: p równa się ułamek: licznik minus 2; mianownik 2 razy nawias otwierający minus 1 nawias zamykający; koniec ułamka. p = − 2 2 ⋅ ( − 1 ) Wzór matematyczny: równa się ułamek: licznik minus 2; mianownik minus 2; koniec ułamka. = − 2 − 2 Wzór matematyczny: równa się 1. = 1
Wzór matematyczny: q równa się ułamek: licznik minus nawias otwierający minus 24 nawias zamykający; mianownik 4 razy nawias otwierający minus 1 nawias zamykający; koniec ułamka. q = − ( − 24 ) 4 ⋅ ( − 1 ) Wzór matematyczny: równa się ułamek: licznik 24; mianownik minus 4; koniec ułamka. = 24 − 4 Wzór matematyczny: równa się minus 6. = − 6
Wzór matematyczny: W równa się nawias otwierający 1 przecinek minus 6 nawias zamykający. W = ( 1 , − 6 )
Rysujemy poglądowy wykres funkcji.Wzór matematyczny: Z z indeksem dolnym: w; koniec indeksu równa się nawias otwierający minus nieskończoność przecinek minus 6 większe niż. Z w = ( − ∞ , − 6 >
Komentarze