W zadaniach typu “Ile jest liczb…” wykorzystujemy regułę mnożenia.

Przykład: Ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez $5$?

Na pierwszym miejscu mamy $9$ możliwych cyfr: ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ ( nie uwzględniamy tutaj zera, bo liczba nie może się od niego zaczynać).

Na drugim miejscu mamy $10$ możliwych cyfr : ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$.

Na trzecim miejscu mamy tylko dwie możliwe cyfry: ${0, 5}$ (liczba jest podzielna przez $5$, gdy kończy się na zerem lub piątką).

Z reguły mnożenia otrzymujemy:

$9 \cdot 10 \cdot 2 = 180$

Odpowiedź: Istnieje 180 liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5.

Przykład: Dany jest zbiór $A = {0,3,4,5,6}$, ile liczb czterocyfrowych możemy zapisać za pomocą tych cyfr, jeżeli:

a) cyfry mogą się powtarzać,

b) cyfry nie mogą się powtarzać.

a) Szukamy czterocyfrowej liczby złożonej tylko z elementów ze zbioru A. Cyfrę tysięcy możemy wybrać na $4$ różne sposoby, podstawiając $3, 4, 5$ lub $6$, ponieważ cyfrą tysięcy nie może być $0$.

Każdą kolejną cyfrę można wybrać na $5$ sposobów, podstawiając $0, 3, 4, 5$ lub $6$.

Zatem możemy otrzymać $4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 500$ liczb.

Odpowiedź: Możemy zapisać $500$ takich liczb czterocyfrowych.

b) Cyfrę tysięcy możemy wybrać na $4$ różne sposoby, ponieważ $0$ nie może być cyfrą tysięcy.

Cyfrę setek możemy wybrać także na $4$ różne sposoby, ponieważ cyfra setek nie może być taka sama jak cyfra tysięcy, a mamy teraz dodatkowo $0$.

Cyfrę dziesiątek możemy wybrać na $3$ różne sposoby, ponieważ nie może być ona taka sama jak cyfra tysięcy i setek, a cyfrę jedności możemy wybrać na $2$ różne sposoby, ponieważ musi być ona różna od cyfry tysięcy, setek i dziesiątek.

Mamy zatem: $4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 96$.

Odpowiedź: Możemy zapisać $96$ liczb czterocyfrowych.

Przykład: Ile liczb trzycyfrowych większy od $399$ zapiszemy używając cyfr należących do zbioru ${0,1,2,3,4,5,6}$, (cyfry mogą się powtarzać).

Żeby liczba była większa od $399$ na pierwszym miejscu musi stać: $4, 5$ lub $6$, zatem cyfrę setek możemy wybrać na $3$ różne sposoby.

Pozostałe cyfry mogą być dowolne, możemy je wybrać na $7$ różnych sposobów, zatem otrzymujemy:

$3 \cdot 7 \cdot 7 = 147$

Odpowiedź: Zapiszemy $147$ takich liczb.

Przykład: Ile różnych liczb czterocyfrowych możemy zapisać wybierając cyfry ze zbioru ${0,1,3,4,5,8}$ jeżeli cyfra tysięcy ma być nieparzysta, a cyfra dziesiątek parzysta.

a) cyfry mogą się powtarzać

b) cyfry nie mogą się powtarzać.

a) Cyfrę tysięcy możemy wybrać na $3$ różne sposoby, ponieważ wybieramy ją z cyfr nieparzystych.

Cyfrę dziesiątek możemy wybrać na $4$ różne sposoby, ponieważ wybieramy ją z cyfr parzystych.

Pozostałe cyfry możemy wybrać na $6$ sposobów. Zatem otrzymujemy $3 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 6 = 432$ liczb.

Odpowiedź: Możemy zapisać $432$ liczby czterocyfrowych.

b) Cyfrę tysięcy możemy wybrać na $3$ różne sposoby, ponieważ wybieramy ją z cyfr nieparzystych ({$1, 3, 5$}).

Cyfrę dziesiątek możemy wybrać na $3$ różne sposoby, ponieważ wybieramy ją z cyfr parzystych ({$0, 4, 8$}).

Cyfrę setek możemy wybrać na $4$ różne sposoby, ponieważ nie może być ona taka sama jak cyfra tysięcy i setek.

Cyfrę jedności możemy wybrać na $3$ różne sposoby, ponieważ musi być ona różna od cyfry tysięcy, setek i dziesiątek.

Mamy zatem: $3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 = 108$.

Odpowiedź: Możemy zapisać $108$ liczb czterocyfrowych.

0