W zadaniach typu “Ile jest liczb…” wykorzystujemy regułę mnożenia.
Przykład: Ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez $5$?
Na pierwszym miejscu mamy $9$ możliwych cyfr: ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ ( nie uwzględniamy tutaj zera, bo liczba nie może się od niego zaczynać).
Na drugim miejscu mamy $10$ możliwych cyfr : ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$.
Na trzecim miejscu mamy tylko dwie możliwe cyfry: ${0, 5}$ (liczba jest podzielna przez $5$, gdy kończy się na zerem lub piątką).
Z reguły mnożenia otrzymujemy:
$9 \cdot 10 \cdot 2 = 180$
Odpowiedź: Istnieje 180 liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5.
Przykład: Dany jest zbiór $A = {0,3,4,5,6}$, ile liczb czterocyfrowych możemy zapisać za pomocą tych cyfr, jeżeli:
a) cyfry mogą się powtarzać,
b) cyfry nie mogą się powtarzać.
a) Szukamy czterocyfrowej liczby złożonej tylko z elementów ze zbioru A. Cyfrę tysięcy możemy wybrać na $4$ różne sposoby, podstawiając $3, 4, 5$ lub $6$, ponieważ cyfrą tysięcy nie może być $0$.
Każdą kolejną cyfrę można wybrać na $5$ sposobów, podstawiając $0, 3, 4, 5$ lub $6$.
Zatem możemy otrzymać $4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 500$ liczb.
Odpowiedź: Możemy zapisać $500$ takich liczb czterocyfrowych.
b) Cyfrę tysięcy możemy wybrać na $4$ różne sposoby, ponieważ $0$ nie może być cyfrą tysięcy.
Cyfrę setek możemy wybrać także na $4$ różne sposoby, ponieważ cyfra setek nie może być taka sama jak cyfra tysięcy, a mamy teraz dodatkowo $0$.
Cyfrę dziesiątek możemy wybrać na $3$ różne sposoby, ponieważ nie może być ona taka sama jak cyfra tysięcy i setek, a cyfrę jedności możemy wybrać na $2$ różne sposoby, ponieważ musi być ona różna od cyfry tysięcy, setek i dziesiątek.
Mamy zatem: $4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 96$.
Odpowiedź: Możemy zapisać $96$ liczb czterocyfrowych.
Przykład: Ile liczb trzycyfrowych większy od $399$ zapiszemy używając cyfr należących do zbioru ${0,1,2,3,4,5,6}$, (cyfry mogą się powtarzać).
Żeby liczba była większa od $399$ na pierwszym miejscu musi stać: $4, 5$ lub $6$, zatem cyfrę setek możemy wybrać na $3$ różne sposoby.
Pozostałe cyfry mogą być dowolne, możemy je wybrać na $7$ różnych sposobów, zatem otrzymujemy:
$3 \cdot 7 \cdot 7 = 147$
Odpowiedź: Zapiszemy $147$ takich liczb.
Przykład: Ile różnych liczb czterocyfrowych możemy zapisać wybierając cyfry ze zbioru ${0,1,3,4,5,8}$ jeżeli cyfra tysięcy ma być nieparzysta, a cyfra dziesiątek parzysta.
a) cyfry mogą się powtarzać
b) cyfry nie mogą się powtarzać.
a) Cyfrę tysięcy możemy wybrać na $3$ różne sposoby, ponieważ wybieramy ją z cyfr nieparzystych.
Cyfrę dziesiątek możemy wybrać na $4$ różne sposoby, ponieważ wybieramy ją z cyfr parzystych.
Pozostałe cyfry możemy wybrać na $6$ sposobów. Zatem otrzymujemy $3 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 6 = 432$ liczb.
Odpowiedź: Możemy zapisać $432$ liczby czterocyfrowych.
b) Cyfrę tysięcy możemy wybrać na $3$ różne sposoby, ponieważ wybieramy ją z cyfr nieparzystych ({$1, 3, 5$}).
Cyfrę dziesiątek możemy wybrać na $3$ różne sposoby, ponieważ wybieramy ją z cyfr parzystych ({$0, 4, 8$}).
Cyfrę setek możemy wybrać na $4$ różne sposoby, ponieważ nie może być ona taka sama jak cyfra tysięcy i setek.
Cyfrę jedności możemy wybrać na $3$ różne sposoby, ponieważ musi być ona różna od cyfry tysięcy, setek i dziesiątek.
Mamy zatem: $3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 = 108$.
Odpowiedź: Możemy zapisać $108$ liczb czterocyfrowych.