Permutacje

Do obliczenia ilości ustawień korzystamy ze wzoru na permutacje. Dlaczego? Bo musimy:

• ustawić wszystkich z dostępnych zawodników - wykorzystujemy cały zbiór,
• zawodnicy się nie powtarzają (jeden zawodnik nie może stać na dwóch miejscach na raz),
• za każdym razem inna kolejność ustawień biegaczy tworzy nowy sposób ustawienia (kolejność jest istotna).

Zatem mamy permutację zbioru $n=8$ elementowego, czyli
$n!=8!$$=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$$=40320$

Odpowiedź: Zawodników można ustawić na $40320$ sposobów.

Analogicznie do poprzedniego przykładu mamy zbiór $n=5$ osób, z którego wyznaczamy permutacje:

$n!=5!$$=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$$=120$

Odpowiedź: Osoby w kolejce można ustawić na $120$ sposobów.

Oznaczmy chłopców : {$1,2,3$} i dziewczynki {$a,b,c$}. Zauważmy, że ustawiając te osoby na przemian, szereg muszą zaczynać chłopcy.

Mamy 3 dziewczynki, które mogą się wymieniać miejscami na $3!$ sposobów.

$a$ $b$  $c$ 

$a$ $c$  $b$ 

$b$ $a$  $c$ 

$b$ $c$  $a$ 

$c$ $a$  $b$ 

$c$ $b$  $a$ 

Jednocześnie $4$ chłopców może zamieniać się miejscami na $4!$ sposobów.

Z reguły mnożenia, wszystkich możliwych ustawień jest:

$3!\cdot 4!$$=3\cdot 2\cdot 1\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$$=6\cdot 24$$=144$

Odpowiedź: Szereg ten można ustawić na $144$ sposobów.

Wszystkich ciągów cyfr powstałych z tego zbioru mamy $5!$.

Jednak ten wynik uwzględnia sytuację, w której zero może stać na pierwszym miejscu liczby.

Aby wyeliminować ten przypadek ustalmy “sztucznie”, że zero jest pierwszą cyfrą tej liczby. Wszystkich ‘liczb z zerem na początku’ jest teraz $4!$ (bo na pozostałe miejsca poza $0$ wybieramy na różne sposoby $4$ cyfry).

Liczbę szukanych liczb obliczamy odejmując te dwie wartości:

$5!-4!$$=5\cdot 4!-4!$$=4!\cdot (5-1)$$=4\cdot 4!$$=4\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$$=96$

Odpowiedź: Jest $96$ takich liczb.