Liczba sposobów, na które $n$ $(n\geq1)$ różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa $$\Large{n!}$$

Jest to wzór na permutacje.

W zadaniach z permutacji:

1) istotna jest kolejność wyboru elementów ze zbioru,

2) używamy wszystkich elementów ze zbioru, które nie mogą się powtarzać.

Przykład: Na ośmiu torach bieżni należy ustawić, w sposób losowy, $8$ zawodników. Na ile sposobów można tego dokonać?

Do obliczenia ilości ustawień korzystamy ze wzoru na permutacje. Dlaczego? Bo musimy:

  • ustawić wszystkich z dostępnych zawodników – wykorzystujemy cały zbiór,
  • zawodnicy się nie powtarzają (jeden zawodnik nie może stać na dwóch miejscach na raz),
  • za każdym razem inna kolejność ustawień biegaczy tworzy nowy sposób ustawienia (kolejność jest istotna).

Zatem mamy permutację zbioru $n = 8$ elementowego, czyli
$n! = 8!$$= 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$ = 40320$

Odpowiedź: Zawodników można ustawić na $40320$ sposobów.

Przykład: Na ile sposobów można ustawić $5$ osób w kolejce?

Analogicznie do poprzedniego przykładu mamy zbiór $n = 5$ osób, z którego wyznaczamy permutacje:

$n! = 5!$$ = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$ = 120$

Odpowiedź: Osoby w kolejce można ustawić na $120$ sposobów.

Uwaga: Możesz sobie wyobrazić $5$ miejsc, które wypełniamy ludźmi.

Na pierwszy miejscu stoi jedna z pięciu osób (możemy ją wybrać na $5$ sposobów).

Na drugie miejsce wybieramy jedną z pozostałych czterech osób, itd.

$\underbrace{5}_{} \qquad \underbrace{4}_{} \qquad \underbrace{3}_{} \qquad \underbrace{2}_{} \qquad \underbrace{1}_{} $

Korzystając z reguły mnożenia mamy

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$ = 5!$

Przykład: Na ile sposobów można ustawić w szeregu $4$ chłopców i $3$ dziewczynki, aby osoby tej samej płci nie stały obok siebie?

Oznaczmy chłopców : {$1, 2, 3$} i dziewczynki {$a, b, c$}. Zauważmy, że ustawiając te osoby na przemian, szereg muszą zaczynać chłopcy.

Mamy 3 dziewczynki, które mogą się wymieniać miejscami na $3!$ sposobów.

$a$ $b$  $c$ 

$a$ $c$  $b$ 

$b$ $a$  $c$ 

$b$ $c$  $a$ 

$c$ $a$  $b$ 

$c$ $b$  $a$ 

Jednocześnie $4$ chłopców może zamieniać się miejscami na $4!$ sposobów.

Z reguły mnożenia, wszystkich możliwych ustawień jest:

$3! \cdot 4!$$ = 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$ = 6 \cdot 24$$ = 144$

Odpowiedź: Szereg ten można ustawić na $144$ sposobów.

Przykład: Ile liczb pięciocyfrowych można utworzyć za pomocą cyfr $ 0$, $1$, $2$, $3$, $4$, jeśli cyfry nie mogą się powtarzać?

Wszystkich ciągów cyfr powstałych z tego zbioru mamy $5!$.

Jednak ten wynik uwzględnia sytuację, w której zero może stać na pierwszym miejscu liczby.

Aby wyeliminować ten przypadek ustalmy “sztucznie”, że zero jest pierwszą cyfrą tej liczby. Wszystkich ‘liczb z zerem na początku’ jest teraz $4!$ (bo na pozostałe miejsca poza $0$ wybieramy na różne sposoby $4$ cyfry).

Liczbę szukanych liczb obliczamy odejmując te dwie wartości:

$5! – 4!$$ = 5 \cdot 4! – 4! $$ = 4! \cdot (5 -1 )$$ = 4 \cdot 4!$$ = 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$ = 96$

Odpowiedź: Jest $96$ takich liczb.

0