Rzędna i odcięta

Zanim zaczniemy odczytywać wartości funkcji z wykresu przypomnijmy, że:

  • Odcięta – pierwsza współrzędna w prostokątnym układzie współrzędnych. Zwykle oznaczamy ją przez $x.$
  • Rzędna – druga współrzędna w prostokątnym układzie współrzędnych. Zwykle oznaczamy ją przez $y.$

 

Odczytywanie własności funkcji z wykresu

Funkcje mają wiele różnych własności, które chcemy określić. Własności, które interesują nas najbardziej, to:

  1. Dziedzina funkcji.
  2. Zbiór wartości funkcji.
  3. Miejsca zerowe funkcji.
  4. Wartość funkcji w zerze.
  5. Przedziały monotoniczności funkcji:
    • Przedziały w których funkcja jest malejąca.
    • Przedziały w których funkcja jest rosnąca.
    • Przedziały w których funkcja jest stała.
  6. Przedziały dla których:
    • $f(x)>0/f(x)\geq 0$
    • $f(x)<0/f(x)\leq 0$
  7. Wartość minimalna i maksymalna funkcji.

Wyznaczymy teraz powyższe własności dla przykładowej funkcji.

 

  1. Dziedzina, czyli zbiór argumentów funkcji. Odczytujemy ją poprzez zrzutowanie wykresu na oś $OX.$
  2. Zbiór wartości,czyli zbiór wszystkich wartości funkcji dla rozpatrywanej dziedziny. Odczytujemy go poprzez zrzutowanie na oś $OY.$
  3. Miejsca zerowe funkcji, czyli te argumenty dla których funkcja przyjmuje wartość 0, zwyczajowo oznaczamy je przez $x_{0}.$ Na wykresie jest to punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $OX.$ Dla tej funkcji miejsca zerowe to $x_{0_{1}}=1,5$ oraz $x_{0_{2}}=4.$
  4. Punkt przecięcia z osią $OY,$ czyli $f(0).$ W tym przypadku $f(0)=-1.$
  5. Przedziały monotoniczności funkcji odczytujemy z osi $OX.$ Badamy je zadając sobie odpowiednio pytania:
    • Malejąca: Dla jakich przedziałów wzrostowi argumentów towarzyszy spadek wartości funkcji?
    • Rosnąca: Dla jakich przedziałów wzrostowi argumentów towarzyszy wzrost wartości funkcji?
    • Stała: Dla jakich przedziałów wzrostowi argumentów towarzyszy utrzymywanie się stałej wartości funkcji?

    Przedziały monotoniczności tej funkcji, to:

    • $f$ $ : \Leftrightarrow x\in (3,5)$
    • $f $ $: \Leftrightarrow (x\in (-3,-2)\quad \vee \quad x\in (1,2))$
    • $f\rightarrow : \Leftrightarrow (x\in (-2,1)\quad \vee \quad x\in (2,3))$
    Czasem przedziały monotoniczności funkcji oznacza się przedziałami domkniętymi, tutaj jednak będziemy używać przedziałów otwartych.
  6. Przedziały mówiące nam o tym, czy $f(x)>0 (f(0)\geq ),$ czy $f(x)<0(f(0)\leq )$ również odczytujemy z osi $OX.$
    • To kiedy $f(x)>0 (f(0)\geq )$ odczytujemy zadając sobie pytanie: „Dla jakich argumentów funkcja znajduje się nad(lub pokrywa się z) osią $OX?”.$
    • To kiedy $f(x)<0(f(0)\leq )$ odczytujemy zadając sobie pytanie: „Dla jakich argumentów funkcja znajduje się pod(lub pokrywa się z) osią $OX?”.$

    Dla powyższej funkcji mamy:

    • $f(x)>0\Leftrightarrow x\in (1,5;4)$
    • $f(x)\geq 0\Leftrightarrow x\in \left< 1,5;4\right> $
    • $f(x)<0\Leftrightarrow x\in \left< -3;1,5\right) \cup (4,5)$
    • $f(x)\leq 0\Leftrightarrow x\in \left< -3;1,5\right> \cup \left< 4,5\right) $
  7. Wartość minimalna i maksymalna to odpowiednio wartość najmniejsza i największa wartość ze zbioru wartości.
    Gdy zbiór wartości jest przedziałem otwartym przy wartości najmniejszej(największej), to minimum(maksimum) nie istnieje

    Dla tej funkcji mamy:

    • minimum: $f(x)_{min}$ – nie istnieje
    • maksimum: $f(x)_{max}=1$

Więcej przykładów:

  1. Dziedzina: $\left< -4,4\right> $
  2. ZW: $\left< -2,2\right> $
  3. $x_{0_{1}}=-3\quad x_{0_{2}}=-1,5\quad x_{0_{3}}=0$
  4. $f(0)=0$
    • $f$ $ :\Leftrightarrow x\in (-2,5;-0,5)$
    • $f$ $ :\Leftrightarrow (x\in (-4;-2,5) \vee x\in (-2,5;4))$
    • $f(x)>0\Leftrightarrow x\in (-3;-1,5)\cup \left( 0,4\right> $
    • $f(x)\geq 0 \Leftrightarrow x\in \left< -3;-1,5\right> \cup \left< 0,4\right> $
    • $f(x)<0 \Leftrightarrow x\in \left< -4,-3\right) \cup (-1,5;0)$
    • $f(x)\leq 0\Leftrightarrow x\in \left< -4,-3\right> \cup \left< -1,5;0\right> $
    • $f(x)_{min}=-2$
    • $f(x)_{max}=2$
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f.$

Odczytaj z rysunku i zapisz:

  • zbiór wartości funkcji $f,$
  • przedział maksymalnej długości w której funkcja jest rosnąca.
Odpowiedź: Odczytując z rysunku mamy, że: zbiór wartości tej funkcji to przedział $\left< -1,3\right> ,$ a przedział maksymalnej długości w której funkcja $f$ jest rosnąca, to $(-1,1).$
0