Szkicowanie wykresu funkcji

Do narysowania wykresu funkcji wykorzystujemy znane nam jej własności, oraz liczymy jej wartości dla kilku wybranych przez nas argumentów, i umieszczamy je w tabelce. Przy rysunku wykonanym odręcznie im więcej punków umieścimy w tabelce, tym dokładniejszy będzie rysunek. Tutaj podamy kilka konkretnych przykładów funkcji, których wykres jest łatwo narysować.

Jak narysować wykres funkcji liniowej

Funkcja liniowa, czyli funkcja określona wzorem $$f(x)=ax+b,$$ gdzie

  • a – współczynnik kierunkowy
  • b – wyraz wolny

Jak wskazuje sama nazwa wykresem funkcji liniowej jest prosta.
Aby narysować wykres funkcji liniowej potrzebujemy znaleźć minimum dwa punkty należące do owego wykresy i przeprowadzić przez nie prostą.

  1. Gdy $a\neq 0$
    Wtedy punkty, które znaleźć najłatwiej, to punkt przecięcia z osią $OY$, czyli punkt $(0,b)$ oraz inny dowolny punkt, który możemy wyliczyć podstawiając $x=1$ albo inną liczbę, dla której wartość funkcji wartość funkcji będzie łatwo policzyć. Ponadto warto wziąć jeden dodatkowy punkt, na wypadek pomyłki w obliczeniach.

    Przykład: Narysuj wykres funkcji $f(x)=2x-4.$
    W tym celu policzmy
    $f(1)=2\cdot 1-4=-2$
    oraz miejsce zerowe funkcji
    $0=2x-4$
    $2x=4$
    $x=2$
    Ponadto możemy odczytać punkt przecięcia z osią $OY$, ponieważ $b=-4$ będzie to punkt $(0,-4).$
    Zatem nasze szukane punkty, to $(1,-2);(2,0);(0,-4).$

    $x$ $0$ $1$ $2$
    $f(x)$ $-4$ $-2$ $0$

    Zauważmy, że punktem, który można łatwo wyznaczyć, jest punkt przecięcia się wykresu funkcji z osią $OX.$ Faktycznie odczytując miejsce zerowe funkcji liniowej z jej postaci ogólnej mamy:
    $0=ax+b$
    $x=-\frac{b}{a}$
    Zatem punk przecięcia się wykresy funkcji liniowej z osią $OX$ ma zawsze (dla $a\neq 0$) współrzędne $(-\frac{b}{a},0).$
    Należy jednak pamiętać, że w przypadku, gdy $b=0$ punkt przecięcia się wykresu funkcji z osiami $OX$ oraz $OY$ pokryje się (będzie to punkt $(0,0)$) więc potrzebne będzie znalezienie kolejnego punktu.
  2. Gdy $a=0$
    Wtedy wykresem funkcji jest prosta równoległa do osi $OX$ przechodząca przez punkt $(0,b).$

    Przykład: Narysuj wykres funkcji $f(x)=3.$
    Odczytujemy, że $b=3,$ ponieważ $a=0,$ więc wykres funkcji jest prostą przechodzącą przez punkt $(0,3)$ równoległą do osi $OX,$ zatem:

Jak narysować wykres funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa, czyli funkcja określona wzorem
$$f(x)=ax^2+bx+c,$$
gdzie

  • $a,b,c$ – stałe
  • $a\neq 0$

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q,$$
gdzie

  • $p=-\frac{b}{2a}$
  • $q=-\frac{\Delta}{4a}$
  • $\Delta=b^2-4ac$

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie $(p,q),$ oraz

  • ramionach skierowanych „do góry”, gdy $a>0.$
  • ramionach skierowanych „do dołu”, gdy $a<0.$

Aby narysować wykres funkcji kwadratowej potrzebujemy znaleźć co najmniej 3 punkty należące do wykresu funkcji, w tym wierzchołek funkcji. Przydatne będą również punkty przecięcia z osią $OX$(o ile istnieją) i punkt przecięcia z osią $OY$ (wyraz wolny – c, lub inaczej wartość funkcji dla $x=0,$ czyli $f(0).$) Im więcej tych punktów wyznaczymy, np sporządzając tabelkę i podstawiając pod $x$ różne wartości, np.

$x$

$-3$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$

$3$

$f(x)$

$f(-3)$ $f(-2)$ $f(-1)$ $f(0)$ $f(1)$ $f(2)$

$f(3)$

i licząc wartości funkcji tym dokładniejszy będzie nasz wykres.

Parabola jest symetryczna względem prostej równoległej do osi $OY$ przechodzącej przez jej wierzchołek.
Przykład: Narysuj wykres funkcji określonej wzorem $f(x)=-x^2+2x+3$.

Krok1. Wyznaczamy wierzchołek paraboli.$W=(p, q)$

$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot(-1)\cdot3=4+12=16$

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{-2}=1$

$q=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-16}{-4}=4$

$W=(p, q)$

Krok 2. Liczymy miejsca zerowe. Ponieważ $\Delta>0$ (co policzyliśmy w poprzednim kroku), to funkcja ma dwa miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-2-\sqrt{16}}{-2}=\frac{-2-4}{-2}=\frac{-6}{-2}=3$

$x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-2+\sqrt{16}}{-2}=\frac{-2+4}{-2}=\frac{2}{-2}=-1$

Krok 3. Wyznaczamy punkt przecięcia z osią $OY$. Ten punkt ma współrzędne $(0, c)$, czyli w tym przypadku $(0, 3)$.

Krok 4. Mamy dużo informacji z poprzednich kroków, więc moglibyśmy pominąć ten krok, ale policzymy jeszcze wartości w pobliżu wierzchołka, żeby otrzymać ładniejszy wykres.

Skoro wierzchołek ma pierwszą współrzędną $p=1$, to policzmy wartości funkcji dla $x=0, x=2$ (oddalone o $1$ od wierzchołka) oraz dla $x=-1, x=3$ (oddalone o $2$ od wierzchołka) oraz dla $x=-2, x=4$ (oddalone o 3 od wierzchołka).

$f(0)=-0^2+2\cdot0+3=3$ Zatem do wykresu należy punkt $(0, 3)$ (ten punkt już tak naprawdę mieliśmy, to jest punkt przecięcia z osią $OY$).

$f(2)=-2^2+2\cdot2+3=3$ Zatem do wykresu należy punkt $(2, 3)$.

$f(-1)=-(-1)^2+2\cdot(-1)+3=0$ Zatem do wykresu należy punkt $(-1, 0)$ (ten punkt też już mieliśmy, to jest miejsce zerowe $x_2$).

$f(3)=-3^2+2\cdot3+3=0$ (Otrzymaliśmy drugie miejsce zerowe x_1$.)

$f(-2)=-(-2)^2+2\cdot(-2)+3=-5$ Otrzymaliśmy punkt $(-2, -5)$.

$f(4)=44^2+4\cdot4+3=-5$.

Krok 5. Teraz zaznaczamy wszystko na wykresie i rysujemy parabolę, czyli nasz wykres.

Jak narysować wykres funkcji wykładniczej

Funkcja wykładnicza, czyli funkcja określona wzorem
$$f(x)=a^x,$$
gdzie

  • $a$ – stała
  • $a>0$

Wykresem funkcji wykładniczej jest krzywa przechodząca przez punkt $(0,1)$ układu współrzędnych. Krzywa ta w całości znajduje się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych i nigdy nie przecina odi $OX,$ oraz jest:

  • rosnąca, gdy $a>1$
  • malejąca, gdy $a<1$
  • stale równa 1, gdy $a=1$
    Wykładnicza dla a=1

Aby narysować wykres funkcji wykładniczej, najłatwiej jest policzyć wartości funkcji dla kilku argumentów tworząc tabelkę podobną do tej:

$x$

$-3$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$

$3$

$a^x$

$(\frac{1}{a})^3$ $(\frac{1}{a})^2$ $\frac{1}{a}$ $1$ $a$ $a^2$

$a^3$

Przykład: Narysuj wykres funkcji określonej wzorem $f(x)=3^x.$

Sporządźmy tabelkę:

$x$

$-3$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$

$3$

$f(x)$

$\frac{1}{27}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{3}$ $1$ $3$ $9$

$27$

Zaznaczmy te punkty w układzie współrzędnych i przeprowadźmy przez nie linię.

Przykład: Narysuj wykres funkcji $f(x)=3^{x+1}-2.$
Do narysowania wykresu tej funkcji wykorzystamy wiedzę z przykładu powyżej. Wykres naszej funkcji $f$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji z poprzedniego przykładu o 1 jednostkę „w lewo” oraz 2 jednostki „w dół”, czyli przez przesunięcie o wektor $[-1,-2].$ Stąd otrzymujemy:
0