Wyznaczanie środka odcinka

Współrzędne środka odcinka $AB$ obliczamy za pomocą wzoru: $$\Large{C=(\frac{x_a+x_b}2,\frac{y_a+y_b}2)}$$

Przykład: Punkty $A=(0,5)$ i $B=(-2,3)$ są końcami odcinka $AB$. Znajdź środek odcinka $AB$.

Z treści zadania wiemy, że:

  • $A=(0,5)$, więc $x_a=0$, $y_a=5$
  • $B=(-2,3)$, więc $x_b=-2$, $y_b=3$

Skorzystajmy ze wzoru: $$C=(\frac{x_a+x_b}2,\frac{y_a+y_b}2)$$

$$C=(\frac{0+(-2)}2,\frac{5+3}2)$$

$$C=(-\frac22,\frac82)$$

$$C=(-1,4)$$

Odpowiedź: Środkiem odcinka $AB$ jest punkt $C=(-1,4)$.

Przykład: Punkty $A=(0,5)$ i $B=(x_b,y_b)$ są końcami odcinka $AB$. Znajdź współrzędne punktu $B$ wiedząc, że środkiem odcinka $AB$ jest punkt $C=(-1,4)$.

Skorzystajmy ze wzoru na współrzędne środka odcinka:

$$C=(x_c,y_c)=(\frac{x_a+x_b}2,\frac{y_a+y_b}2)$$

Mamy więc, że $x_c=\frac{x_a+x_b}2$ oraz $y_c=\frac{y_a+y_b}2$.

Z treści zadania wiemy, że:

  • $A=(0,5)$, więc $x_a=0$, $y_a=5$
  • $C=(-1,4)$, więc $x_c=-1$, $y_c=4$

Podstawiamy odpowiednio:

$x_c=\frac{x_a+x_b}2$   $\Rightarrow$ $-1=\frac{0+x_b}2$   $\Rightarrow$ $-1=\frac{x_b}2$   $\Rightarrow$ $x_b=-2$

$y_c=\frac{y_a+y_b}2$   $\Rightarrow$ $4=\frac{5+y_b}2$   $\Rightarrow$ $8=5+y_b$   $\Rightarrow$ $y_b=3$

Ostatecznie $B=(x_b,y_b)=(-2,3)$.
Odpowiedź: Współrzędne punktu $B$ to  $(-2,3)$. Sprawdzenie

Przykład: Punkty $A=(3,4)$ i $B=(5,10)$ są końcami odcinka $AB$. Obrazem tego odcinka w symetrii względem osi $OY$ układu współrzędnych jest odcinek $AB’$. Znajdź środek odcinka $AB’$.

Sposób 1:

Rozważmy odbicie względem osi $OY$. Zatem:

  • skoro $A=(3,4)$ to $A’=(-3,4)$
  • skoro $B=(5,10)$ to $B’=(-5,10)$

Środek odcinka $AB’$ wyznaczamy wprost ze wzoru:

$C’=(\frac{x_a’+x_b’}2,\frac{y_a’+y_b’}2)$$=(\frac{-3+(-5)}2,\frac{4+10}2)$$=(-\frac82,\frac{14}2)$$=(-4,7)$

Sposób 2:
Wyznaczmy najpierw współrzędne punktu $C$ – środek odcinka $AB$, gdzie $A=(3,4)$ i $B=(5,10)$ .
$C=(\frac{x_a+x_b}2,\frac{y_a+y_b}2)$$=(\frac{3+5}2,\frac{4+10}2)$$=(\frac82,\frac{14}2)$$=(4,7)$
Rozważmy odbicie względem osi $OY$.
Skoro $C=(4,7)$, to $C’=(-4,7)$.
Odpowiedź: Środkiem odcinka $AB’$ jest punkt o współrzędnych $C’=(-4,7)$.
0