Na początku zdefiniujemy pojęcie procentu.

Jeden procent liczby to setna część tej liczby.

Inaczej mówiąc, $1\% = \frac{1}{100} = 0,01$.

Przykład 1.
Zamień procent na ułamek.
$$45\% = \frac{45}{100} = 0,45$$ $$100\% = \frac{100}{100} = 1.$$
Przykład 2.
Zamień ułamek na procent.
W odróżnieniu od przykładu 1, będziemy mnożyć ułamek zwykły przez $100\%$, czyli:
$$\frac{3}{10} = \frac{3}{10} \cdot 100\% = \frac{300}{10}\% = 30\%$$

$$\frac{5}{12} = \frac{5}{12} \cdot 100\% = \frac{500}{12}\% = 41 \frac{8}{12}\% = 41 \frac{2}{3}\%.$$

Jak obliczyć procent z liczby?

Aby obliczyć procent z danej liczby, to:

  1. zamień procent na ułamek (przykład 1),
  2. otrzymany ułamek przemnóż przez liczbę.
Oblicz $15\%$ liczby 60.
Z definicji procentu mamy: $$15\%=\frac{15}{100}$$Mnożymy $\frac{15}{100}$ przez 60. Skąd mamy: $$\frac{15}{100} \cdot 60 = \frac{15 \cdot 60}{100} = \frac{900}{100} = 9$$
Odpowiedź: $15\%$ z liczby 60 wynosi 9.

Jak obliczyć procent danej liczby za pomocą kalkulatora?

Na każdym kalkulatorze (naukowym, prostym) jest przycisk procentu %.
Teraz na kalkulatorze obliczymy $50\%$ z liczby 25.

Spójrz na poniższy gif (zaczyna się on od pokazania liczby 0):

gdzie:

  • Pierwsza liczba (tutaj 25) to ustalona przez nas wartość liczbowa,
  • Druga liczba (tutaj 50) to ustalony przez nas procent.
W tym przypadku do obliczenia procentu z danej liczby użyliśmy klawisza $+$.
Gdybyśmy użyli klawisza $-,\times, \div$,  to też uzyskamy taki sam wynik, który jest pokazywany na powyższym gifie.

Jakim procentem liczby a jest liczba b?

Aby obliczyć, jakim procentem liczby b jest liczba a, należy:

  1. zapisać w postaci $\frac{a}{b}$,
  2. otrzymany ułamek zamienić na procent (przykład 2).
Żeby zapamiętać sposób rozwiązywania tego typu zadań, to treść zadania można zinterpretować w następujący sposób:
$a$ – drugi człon zdania,
$b$ – pierwszy człon zdania.
Przykład 3.
Na parkingu stoi 12 samochodów: 3 czarne i 9 białych. Oblicz, ile procent wszystkich samochodów stanowią samochody czarne.

Wracając do ostatniej uwagi, to pierwszym członem zdania jest „wszystkich samochodów”, zaś drugim członem zdania jest „stanowią samochody czarne”.
Z treści zdania wynika, że wszystkich samochodów jest 12 oraz samochodów czarnych jest 3. Zatem:$$\frac{3}{12} = \frac{1}{4}.$$Mnożąc otrzymany ułamek przez $100\%$ otrzymujemy:$$\frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$$
Odpowiedź: Samochody czarne stanowią $25\%$ wszystkich samochodów na parkingu.

Liczba a jest mniejsza/większa od liczby b

Przykład 4.
Dane mamy następujące liczby: $a$ i $b$. Wiemy, że liczba $b=40$ oraz liczba $a$ jest o $20\%$ mniejsza od liczby $b$. Oblicz $a$.

Niewiadomą liczbą jest liczba $a$. Wiemy tylko, że liczba $a$ jest o $20\%$ mniejsza od $b$, gdzie $b=40$.
Jak to zrobić?
Liczymy najpierw $20\%$ z liczby $b=40$. Jest to liczba 8, gdyż: $$40 \cdot \frac{20}{100} = \frac{800}{100} = 8$$
Ale to nie koniec!
Musimy jeszcze przecież odjąć liczbę 8 od 40, gdyż liczba 8 to $20\%$ z liczby, a liczba $a$ ma być o $20\%$ mniejsza, czyli jest ona o 8 mniejsza od liczby 40.
Stąd: $$a = 40 – 8 = 32$$

Przykład 5.
Dane mamy następujące liczby: c i d. Wiemy, że liczba $c=48$ oraz liczba d jest o $20\%$ większa od liczby c. Oblicz d.
Analogicznie, jak w przykładzie 4, liczymy $20\%$ z liczby 48. Jest to: $$48 \cdot \frac{20}{100} = \frac{960}{100} = 9,6$$
Tym razem będziemy dodawać do liczby 48 $20\%$ z tej liczby, żeby uzyskać liczbę $d$, która jest o $20\%$ większa od 48. Skąd:
$$d=48+9,6=57,6$$.

Zadania

Zadanie 1.
Cena butów wynosiła 100 zł. W czasie wyprzedaży cenę tę obniżono o $10\%$, a następnie jeszcze raz obniżano o $20\%$. Jaka jest ostateczna cena tych butów?
Policzymy $10\%$ z liczby 100: $$100 \cdot \frac{10}{100} = 10$$Następnie odejmujemy liczbę 10 od 100. $$100 – 10 = 90~zł$$Okazuję się, że otrzymana przez chwilą cena obniżono ponownie, tym razem o $20\%$, więc policzymy $20\%$ z liczby 90: $$90 \cdot \frac{20}{100} = 18$$Na koniec odejmijmy liczbę 18 od 90:$$90 – 18 = 72~zł$$
Odpowiedź: Obecnie buty kosztują 72 zł.
Zadanie 2.
Cena CD ROM-u wraz z $7\%$ podatkiem VAT wynosiła 252 zł 60 gr. Oblicz cenę z $22\%$ podatkiem VAT.
Oznaczenie:
$x$ – cena bez podatku VAT.
Żeby policzyć $x$, to stosujemy następujący schemat:

$$cena~bez~podatku + podatek \cdot cena~bez~podatku = cena~z~podatkiem$$

Podstawiamy liczby powyższego wzoru: $$x+0,07 \cdot x = 252,6$$Zatem:$$1,07 \cdot x = 252,6$$ $$x = \frac{252,6}{1,07}$$ $$x \approx 236,07~zł$$Teraz do pogrubionego wzoru postawiamy liczbę 236,07. Tym razem będziemy pod uwagęz $22\%$ podatek VAT. Zatem: $$236,07 + 236,07 \cdot 0,22 \approx 288,01$$
Odpowiedź: Cena z $22\%$ podatkiem VAT wynosi 288 zł 01 gr.

Zadanie 3.
Oblicz z jakiej liczby 20% wynosi 50.
Na początku oznaczmy następujące liczby:
$x$ – szukana liczba.
Wiadomo, że $$0,2 \cdot x = 50$$Naszym celem jest policzenie $x$, czyli: $$0,2 \cdot x = 50$$ mnożymy stronami razy 10, żeby pozbyć się ułamka $$2 \cdot x = 500$$ $$x = 250$$Zatem: $$x=250$$
Odpowiedź: Szukana liczba to 250.
Zadanie 4.
Oblicz $x$, jeżeli $30\%$ z $x$ to 48.
Na początku oznaczymy następujące liczby:
$x$ – szukana liczba.
$0,3 \cdot x$ –  $30\%$ z $x$
Wiadomo, że $$0,3 \cdot x = 48$$Naszym celem jest policzenie $x$, czyli: $$x \cdot \frac{30}{100} = 48$$Mnożąc obie strony powyższego równania przez 100 otrzymujemy: $$x \cdot 30 = 4800$$ $$30 \cdot x = 4800$$ $$x = \frac{4800}{30}$$ $$x = 160$$
Odpowiedź: Szukana liczba to 160.
Zadanie 5.
Cena brutto roweru z podatkiem $22\%$ wynosi 750 zł. Oblicz jego cenę netto.

Cena brutto towaru to:

$$cena~brutto~=~cena~netto + podatek \cdot cena~netto$$

Cena netto towaru to cena bez żadnego podatku.
Na początku oznaczymy następujące liczby:
$x$ – cena netto roweru
$x + 0,22 \cdot x$ – cena brutto roweru.
Następnie liczymy $x$:
$$x + 0,22 \cdot x = 750$$ $$1,22 \cdot x = 750$$ $$x = \frac{750}{1,22}$$ $$x \approx 614,75~zł$$
Odpowiedź: Cena netto roweru wynosi 614,75 zł.

8+
Martyna Szczygieł