Silnia i współczynnik dwumianowy Newtona

Silnia i współczynnik dwumianowy Newtona ułatwiają liczenie możliwych ustawień oraz wyborów elementów. Poznaj ich definicje, podstawowe zależności i sposób wykonywania obliczeń.

Silnia

Silnią liczby całkowitej dodatniej $n$ nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych
od $1$ do $n$ włącznie:

$\Large{n!=1\cdot 2\cdot …\cdot n}$

Ponadto $0!=1$ .

Dla dowolnej liczby całkowitej $n\geq0$ zachodzi związek:

$\Large{(n+1)!=n!\cdot (n+1)}$

Uwaga: Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne - CKE strona 2.

$0!=1$

$1!=1$

$2!=1\cdot 2=2$

$3!=1\cdot 2\cdot 3=6$

$4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$

$5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$

Przykład: Oblicz:

a. $5!$

b. $6!-3!\cdot 0!$

c. $\frac{11!}{7!\cdot 2!}$

d. $\frac{12!}{10!\cdot 3!}$

e. $\frac{8!\cdot 9!}{(5!)^2}$

a. Dla

5!

mamy, że

n=5

. Wiemy, że

n!=1\cdot 2\cdot …\cdot n

, więc

5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120

b. Wiemy, że

0!=1

6!-3!\cdot 0!=(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6)-(1\cdot 2\cdot 3)\cdot 1=

720-6=714

c. W tym przykładzie występują silnie większych liczb.
Dla

11!

mamy, że

11!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11=

7!\cdot 8 \cdot9 \cdot10 \cdot11

.
Co to dla nas znaczy?

\frac{11!}{7!\cdot 2!}=

\frac{{7!}\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11}{{7!}\cdot2!}=

\frac{8\cdot9\cdot10\cdot11}{2!}=

\frac{8\cdot9\cdot10\cdot11}{1\cdot2}=

3960

d. W tym przykładzie występują silnie większych liczb. Korzystając z poprzedniego przykładu wiemy, że możemy “usunąć z mianownika większą z silń”. Mamy:

\frac{12!}{10!\cdot 3!}=

\frac{{10!}\cdot11\cdot12}{{10!}\cdot3!}=

\frac{11\cdot12}{3!}=

\frac{11\cdot12}{1\cdot2\cdot3}=

\frac{11\cdot 12}{6}=

22

e. Podobnie jak w poprzednich przykładach rozpiszmy silnie które chcemy skrócić. Mamy:

\frac{8!\cdot 9!}{(5!)^2}=

\frac{8!\cdot9!}{5!\cdot5!}=

\frac{({5!}\cdot6\cdot7\cdot8)\cdot({5!}\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9)}{{5!}\cdot {5!}}=

1016064

Przykład: Doprowadź do najprostszej postaci:

a. $\frac{(n-3)!}{(n-2)!}$

b. $\frac{(2n)!}{(2n-4)!}$

a. Na początek zauważmy, że liczba poprzednia do

n

n-1

.
Liczba poprzednia do

n-1

n-2

.
Liczba poprzednia do

n-2

n-3

...

Korzystając z poprzedniego zadania skróćmy wspólne czynniki z licznika i mianownika.
Rozpiszemy największą liczbę z licznika i mianownika żeby znaleźć wspólne czynniki:

(n-2)!=

1\cdot 2\cdot 3\cdot … \cdot (n-4)\cdot (n-3)\cdot (n-2)=

(n-3)!\cdot (n-2)

Mamy:

\frac{(n-3)!}{(n-2)!}=

\frac{(n-3)!}{(n-3)!\cdot (n-2)}=

\frac1{n-2}

b. Korzystając z poprzedniego zadania skróćmy wspólne czynniki z licznika i mianownika.
Rozpiszemy największą liczbę z licznika i mianownika żeby znaleźć wspólne czynniki:

(2n)!=

1\cdot 2 \cdot3 \cdot …\cdot (2n-4)\cdot (2n-3) \cdot(2n-2) \cdot(2n-1) \cdot(2n)

Mamy:

\frac{(2n)!}{(2n-4)!}=

\frac{(2n-4)!\cdot(2n-3)\cdot(2n-2)\cdot(2n-1)\cdot(2n)}{ (2n-4)!}=

(2n-3)\cdot (2n-2)\cdot (2n-1)\cdot (2n)

Współczynnik dwumianowy Newtona

Dla liczb całkowitych $n$ , $k$ spełniających warunki $0\leqslant k\leqslant n$ definiujemy współczynnik dwumianowy następująco:

$\Large{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}}$

Zachodzą równości:

$\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=$ $\frac{n\cdot(n-1)\cdot (n-2) \cdot … \cdot(n-k+1)}{k!}$
$\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}=1$
$\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}=1$

Uwaga: Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne - CKE strona 2.

Przykład: Oblicz:

a. $\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}$

b. $\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}$

c. $\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}$

d. $\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}$

Skorzystamy z powyższego wzoru oraz definicji silni.

a. $\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}=$ $\frac{6!}{4!\cdot (6-4)!}=$ $\frac{{4!}\cdot5\cdot6\cdot}{ {4!}\cdot 2!}=$ $\frac{5\cdot 6}{2!}=$ $\frac{5\cdot 6}{2}=$ $15$

\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}=

\frac{10!}{3!\cdot (10-3)!}=

\frac{{7!}\cdot8\cdot9\cdot10}{3!\cdot{7!}}=

\frac{8\cdot9\cdot10}{3!}=

\frac{720}{6}=120

c. $\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}=$ $\frac{4!}{4!\cdot (4-4)!}=$ $\frac{4!}{4!\cdot 0!}=$ $\frac {4!}{4!\cdot 1}=1$

Zauważmy, że: $\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}=1$

d. $\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}=$ $\frac{7!}{0!\cdot (7-0)!}=$ $\frac{7!}{0!\cdot 0!}=\frac{7!}{7!}=1$

Zauważmy, że: $\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}=1$

Autor: Anita Księżak

Komentarze

Kombinacje - kombinatoryka LICEUM ✎ Cyrkiel.info 16.04.2018 · 19:38

[…] Przed rozwiązywaniem zadań przypomnij sobie symbol Newtona. […]

Odpowiedz

Silnia i współczynnik dwumianowy Newtona

Silnia

Współczynnik dwumianowy Newtona

Komentarze

Dodaj komentarz Anuluj odpowiedź