Silnia

Silnią liczby całkowitej dodatniej $n$ nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych
od $1$ do $n$ włącznie:

$$\Large{n!=1\cdot 2\cdot …\cdot n}$$

Ponadto $0!=1$.

Dla dowolnej liczby całkowitej $n\geq0$ zachodzi związek:

$$\Large{(n+1)!=n!\cdot (n+1)}$$

Uwaga: Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne – CKE strona 2.

$0!=1$

$1!=1$

$2!=1\cdot 2=2$

$3!=1\cdot 2\cdot 3=6$

$4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$

$5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$

Przykład: Oblicz:

a. $5!$

b. $6!-3!\cdot 0!$

c. $\frac{11!}{7!\cdot 2!}$

d. $\frac{12!}{10!\cdot 3!}$

e. $\frac{8!\cdot 9!}{(5!)^2}$

a. Dla $5!$ mamy, że $n=5$. Wiemy, że $n!=1\cdot 2\cdot …\cdot n$, więc $5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$.
b. Wiemy, że $0!=1$.
$6!-3!\cdot 0!=(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6)-(1\cdot 2\cdot 3)\cdot 1=$$720-6=714$.
c. W tym przykładzie występują silnie większych liczb.
Dla $11!$ mamy, że $11!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11=$$7!\cdot 8 \cdot9 \cdot10 \cdot11$.
Co to dla nas znaczy?
$\frac{11!}{7!\cdot 2!}=$$\frac{{7!}\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11}{{7!}\cdot2!}=$$\frac{8\cdot9\cdot10\cdot11}{2!}=$$\frac{8\cdot9\cdot10\cdot11}{1\cdot2}=$$3960$
d. W tym przykładzie występują silnie większych liczb. Korzystając z poprzedniego przykładu wiemy, że możemy “usunąć z mianownika większą z silń”. Mamy:
$\frac{12!}{10!\cdot 3!}=$$\frac{{10!}\cdot11\cdot12}{{10!}\cdot3!}=$$\frac{11\cdot12}{3!}=$$\frac{11\cdot12}{1\cdot2\cdot3}=$$\frac{11\cdot 12}{6}=$$22$
e. Podobnie jak w poprzednich przykładach rozpiszmy silnie które chcemy skrócić. Mamy:
$\frac{8!\cdot 9!}{(5!)^2}=$$\frac{8!\cdot9!}{5!\cdot5!}=$$\frac{({5!}\cdot6\cdot7\cdot8)\cdot({5!}\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9)}{{5!}\cdot {5!}}=$$1016064$

Przykład: Doprowadź do najprostszej postaci:

a. $\frac{(n-3)!}{(n-2)!}$

b. $\frac{(2n)!}{(2n-4)!}$

a. Na początek zauważmy, że liczba poprzednia do $n$ to $n-1$.
Liczba poprzednia do $n-1$ to $n-2$.
Liczba poprzednia do $n-2$ to $n-3$…
Korzystając z poprzedniego zadania skróćmy wspólne czynniki z licznika i mianownika.
Rozpiszemy największą liczbę z licznika i mianownika żeby znaleźć wspólne czynniki:$(n-2)!=$$1\cdot 2\cdot 3\cdot … \cdot (n-4)\cdot (n-3)\cdot (n-2)=$$(n-3)!\cdot (n-2)$
Mamy:
$\frac{(n-3)!}{(n-2)!}=$$\frac{(n-3)!}{(n-3)!\cdot (n-2)}=$$\frac1{n-2}$
b. Korzystając z poprzedniego zadania skróćmy wspólne czynniki z licznika i mianownika.
Rozpiszemy największą liczbę z licznika i mianownika żeby znaleźć wspólne czynniki:
$(2n)!=$$1\cdot 2 \cdot3 \cdot …\cdot (2n-4)\cdot (2n-3) \cdot(2n-2) \cdot(2n-1) \cdot(2n)$
Mamy:
$\frac{(2n)!}{(2n-4)!}=$$\frac{(2n-4)!\cdot(2n-3)\cdot(2n-2)\cdot(2n-1)\cdot(2n)}{ (2n-4)!}=$$(2n-3)\cdot (2n-2)\cdot (2n-1)\cdot (2n)$

Współczynnik dwumianowy Newtona

Dla liczb całkowitych $n$, $k$ spełniających warunki $0\leqslant k\leqslant n$ definiujemy współczynnik dwumianowy następująco:

$$\Large{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}}$$

Zachodzą równości:

  • $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=$$\frac{n\cdot(n-1)\cdot (n-2) \cdot … \cdot(n-k+1)}{k!}$
  • $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=$$\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}$
  • $\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}=1$
  • $\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}=1$
Uwaga: Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne – CKE strona 2.

Przykład: Oblicz:

a. $\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}$

b. $\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}$

c. $\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}$

d. $\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}$

Skorzystamy z powyższego wzoru oraz definicji silni.

a. $\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}=$$\frac{6!}{4!\cdot (6-4)!}=$$\frac{{4!}\cdot5\cdot6\cdot}{ {4!}\cdot 2!}=$$\frac{5\cdot 6}{2!}=$$\frac{5\cdot 6}{2}=$$15$

b. $\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}=$$\frac{10!}{3!\cdot (10-3)!}=$$\frac{{7!}\cdot8\cdot9\cdot10}{3!\cdot{7!}}=$$\frac{8\cdot9\cdot10}{3!}=$$\frac{720}{6}=120$

c. $\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}=$$\frac{4!}{4!\cdot (4-4)!}=$$\frac{4!}{4!\cdot 0!}=$$\frac {4!}{4!\cdot 1}=1$

Zauważmy, że: $\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}=$$\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}=1$

d. $\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}=$$\frac{7!}{0!\cdot (7-0)!}=$$\frac{7!}{0!\cdot 0!}=\frac{7!}{7!}=1$

Zauważmy, że: $\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}=$$\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}=1$

0