Jak wiesz, ułamek zwykły jest w postaci $$\frac{a}{b}$$ gdzie:

  • liczba $a$ to licznik,
  • liczba $b$ to mianownik oraz $b \neq 0$.

My zajmiemy się usuwaniem niewymierności z mianownika, to znaczy chcemy pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez taki czynnik, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną różną od zera.

Pierwiastek kwadratowy/sześcienny

Zacznijmy od usuwania pojedynczego pierwiastka. Weźmy liczbę $\frac{3}{\sqrt{2}}$. Co chcemy zrobić?
Chcemy usunąć liczbę niewymierną $\sqrt{2}$ z mianownika.

Jak to robimy?

Najlepiej przemnożyć licznik i mianownik przez liczbę $\sqrt{2}$, bo $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$. Zatem: $$\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}} = \frac{\color{black}{3 \cdot }\color{blue}{\sqrt{2}}}{\color{black}{2 \cdot} \color{blue}{\sqrt{2}}} = \color{black}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$$
Dla pierwiastka sześciennego możemy zastosować analogiczną metodę, natomiast potrzebujemy rozszerzyć ułamek o czynnik $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2}$, bo $(\sqrt[3]{2})^{3}=2$; tj.

$$\frac{3}{\sqrt[3]{2}} = \frac{3}{\sqrt[3]{2}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}}}=\color{black}{\frac{3\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}}}=\color{black}{\frac{3\cdot\sqrt[3]{2\cdot2}}{2}}=\color{black}{\frac{3\cdot\sqrt[3]{4}}{2}}$$

Teraz weżmy pod uwagę liczby $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ i $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{5}}$. Zatem: $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}} \color{black}{=\frac{\sqrt{10}}{5}}$$

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{5}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \color{blue}{\frac{{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{5}}^{}}{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{5}}} \color{black}{=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{5\cdot5}}{5}}=\color{black}{\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{25}}{5}}$$

Pierwiastek kwadratowy z działaniem

Przejdźmy do trudniejszej rzeczy. Teraz dokładamy to tego działania arytmetyczne. Zacznijmy od przykładu.

Niech $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$. Analogiczne jak w poprzednim przykładzie, mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, po to, żeby skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia.
W tym przypadku korzystamy ze wzoru: $$(a-b)\cdot(a+b) = a^{2} – b^{2}.$$
Dzięki temu pozbędziemy się liczby niewymiernej z mianownika, tzn.:

$$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot\color{blue}{\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}} = \color{black}{\frac{1\cdot(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})\cdot(2-\sqrt{3})}}\stackrel{wzór}{=}\color{black}{\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}}=2-\sqrt{3}$$

To usunięcia niewymierności tego pierwiastka wykorzystujemy działanie sprzężenia. Co to znaczy?
Oznacza to, że zamiast $+$ w mianowniki mamy $-$ i odwrotnie zamiast $-$ mamy $+$.
Robimy to po to, żeby skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia.

Rozważmy następujący przykład. Niech $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$.

$$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}}=\color{black}{\frac{1\cdot(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)\cdot(\sqrt{5}+2)}}\stackrel{wzór}{=}\color{black}{\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^{2}-2^{2}}}=\color{black}{\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}}=\color{black}{\sqrt{5}+2}$$

Zadania

Zadanie 1.
Oblicz $4\sqrt{5} + 13 \cdot \frac{4}{\sqrt{5}+2}$

Na początku usuniemy niewymierność z mianownika z liczby $\frac{4}{\sqrt{5}+2}$:

$$\frac{4}{\sqrt{5}+2} = \frac{4\cdot(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}-2)\cdot(\sqrt{5}+2)} = \frac{4\sqrt{5}-8}{5-4} = 4\sqrt{5} – 8$$

Zatem:

$$4\sqrt{5} + 13 \cdot \frac{4}{\sqrt{5}+2} = 4\sqrt{5} + 13 \cdot (4\sqrt{5} – 8) = 4\sqrt{5} + 52\sqrt{5} – 104 = 56\sqrt{5} – 104$$
Zadanie 2.
Oblicz wartość wyrażenia $$\frac{(a^{3}+b^{3})(a^{2}-b^{2})}{(a+b)^{2}}$$ dla $a=\sqrt{2}+1$ oraz $b=\sqrt{2}+4$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy:

$$\frac{(a^{3}+b^{3})(a^{2}-b^{2})}{(a+b)^{2}}=\frac{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a-b)(a+b)}{(a+b)^{2}}=$$$$=\frac{\color{red}{(a+b)^{2}}\color{black}{(a-b)(a^{2}-ab+b^{2})}}{\color{red}{(a+b)^{2}}}\color{black}{=(a-b)(a^{2}-ab+b^{2})}$$

Zatem:

$$(\sqrt{2}+1-\sqrt{2}-4)\left((\sqrt{2}+1)^{2}-(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+4)+(\sqrt{2}+4)^{2}\right)=$$$$=-3\left((2+2\sqrt{2}+1)-(2+4\sqrt{2}+\sqrt{2}+4)+2+8\sqrt{2}+16\right)=$$ $$= -3\left(3+2\sqrt2-6-5\sqrt2+2+8\sqrt2+16\right)=-3\left(15+5\sqrt2\right)=-45-15\sqrt2$$
Zadanie 3.
Oblicz $3+\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}$

Najpierw usuniemy niewymierność z mianownika z liczby $\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}$:

$$\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2} = \frac{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} = \frac{3-4\sqrt{3}+4}{3-4} = \frac{7-4\sqrt{3}}{3-4}=\frac{7-4\sqrt{3}}{-1} = 4\sqrt{3}-7$$
Zatem $3+\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}$ jest równe $$3 + 4\sqrt{3} – 7 = 4\sqrt{3} – 4$$
Zadanie 4.
Usuń niewymierność z mianownika
$\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}},~\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2},~\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}},~\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}},~\frac{1}{\sqrt{2}},~\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{17}}$
$$\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} =\frac{(2+\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=\frac{4+4\sqrt{2}+2}{4-2}=\frac{6+4\sqrt{2}}{2} = 3+2\sqrt{2}$$
$$\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}=\frac{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\frac{5+4\sqrt{5}+4}{5-4}=9+4\sqrt{5}$$
$$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{7-6}=\sqrt{7}+\sqrt{6}$$

$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{4}}{2}$$ $$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{7}\cdot\sqrt{17}}{\sqrt{17}\cdot\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{119}}{17}$$

Zadanie 5.
Wartość wyrażenia $\frac{2}{\sqrt{3}-1} – \frac{2}{\sqrt{3}+1}$ wynosi: $$A. 2,~~B. 2\sqrt{3},~~C. -2,~~ D. -2\sqrt{3}$$
To zadanie można rozwiązać na dwie sposoby:
Sposób I:
Usuwamy niewymierność każdego ułamka i dalej odejmujemy, tzn.:

$$\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2\sqrt{3}+2}{3-1} = \sqrt{3} + 1$$
$$\frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2\sqrt{3}-2}{3-1} = \sqrt{3}-1$$
Zatem wartość wyrażenia wynosi: $$\sqrt{3} + 1 – \sqrt{3} + 1 = 2$$
Sposób II:
Doprowadzamy wyrażenie $\frac{2}{\sqrt{3}-1} – \frac{2}{\sqrt{3}+1}$ do wspólnego mianownika (było tłumaczone tutaj), tzn.:
$$\frac{2}{\sqrt{3}-1} – \frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)-2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{2\sqrt{3}+2-2\sqrt{3}+2}{3-1}=\frac{4}{2} = 2$$

Odpowiedź: A.

0