Jak wiesz, ułamek zwykły jest w postaci $$\frac{a}{b}$$ gdzie:
- liczba $a$ to licznik,
- liczba $b$ to mianownik oraz $b \neq 0$.
My zajmiemy się usuwaniem niewymierności z mianownika, to znaczy chcemy pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez taki czynnik, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną różną od zera.
Pierwiastek kwadratowy/sześcienny
Zacznijmy od usuwania pojedynczego pierwiastka. Weźmy liczbę $\frac{3}{\sqrt{2}}$. Co chcemy zrobić?
Chcemy usunąć liczbę niewymierną $\sqrt{2}$ z mianownika.
Jak to robimy?
Najlepiej przemnożyć licznik i mianownik przez liczbę $\sqrt{2}$, bo $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$. Zatem: $$\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}} = \frac{\color{black}{3 \cdot }\color{blue}{\sqrt{2}}}{\color{black}{2 \cdot} \color{blue}{\sqrt{2}}} = \color{black}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$$
Dla pierwiastka sześciennego możemy zastosować analogiczną metodę, natomiast potrzebujemy rozszerzyć ułamek o czynnik $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2}$, bo $(\sqrt[3]{2})^{3}=2$; tj.
$$\frac{3}{\sqrt[3]{2}} = \frac{3}{\sqrt[3]{2}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}}}=\color{black}{\frac{3\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}}}=\color{black}{\frac{3\cdot\sqrt[3]{2\cdot2}}{2}}=\color{black}{\frac{3\cdot\sqrt[3]{4}}{2}}$$
Teraz weżmy pod uwagę liczby $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ i $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{5}}$. Zatem: $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}} \color{black}{=\frac{\sqrt{10}}{5}}$$
Pierwiastek kwadratowy z działaniem
Przejdźmy do trudniejszej rzeczy. Teraz dokładamy to tego działania arytmetyczne. Zacznijmy od przykładu.
Niech $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$. Analogiczne jak w poprzednim przykładzie, mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, po to, żeby skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia.
W tym przypadku korzystamy ze wzoru: $$(a-b)\cdot(a+b) = a^{2} – b^{2}.$$
Dzięki temu pozbędziemy się liczby niewymiernej z mianownika, tzn.:
To usunięcia niewymierności tego pierwiastka wykorzystujemy działanie sprzężenia. Co to znaczy?
Oznacza to, że zamiast $+$ w mianowniki mamy $-$ i odwrotnie zamiast $-$ mamy $+$.
Robimy to po to, żeby skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia.
Rozważmy następujący przykład. Niech $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$.
Zadania
Oblicz $4\sqrt{5} + 13 \cdot \frac{4}{\sqrt{5}+2}$
Na początku usuniemy niewymierność z mianownika z liczby $\frac{4}{\sqrt{5}+2}$:
Zatem:
Oblicz wartość wyrażenia $$\frac{(a^{3}+b^{3})(a^{2}-b^{2})}{(a+b)^{2}}$$ dla $a=\sqrt{2}+1$ oraz $b=\sqrt{2}+4$
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy:
Zatem:
Oblicz $3+\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}$
Najpierw usuniemy niewymierność z mianownika z liczby $\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}$:
Zatem $3+\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}$ jest równe $$3 + 4\sqrt{3} – 7 = 4\sqrt{3} – 4$$
Usuń niewymierność z mianownika
$\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}},~\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2},~\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}},~\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}},~\frac{1}{\sqrt{2}},~\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{17}}$
$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{4}}{2}$$ $$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{7}\cdot\sqrt{17}}{\sqrt{17}\cdot\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{119}}{17}$$
Wartość wyrażenia $\frac{2}{\sqrt{3}-1} – \frac{2}{\sqrt{3}+1}$ wynosi: $$A. 2,~~B. 2\sqrt{3},~~C. -2,~~ D. -2\sqrt{3}$$
Sposób I:
Usuwamy niewymierność każdego ułamka i dalej odejmujemy, tzn.:
Zatem wartość wyrażenia wynosi: $$\sqrt{3} + 1 – \sqrt{3} + 1 = 2$$
Sposób II:
Doprowadzamy wyrażenie $\frac{2}{\sqrt{3}-1} – \frac{2}{\sqrt{3}+1}$ do wspólnego mianownika (było tłumaczone tutaj), tzn.:
Odpowiedź: A.