Zanim zaczniemy pierwiastkować, to przypomnijmy definicję pierwiastkowania.

Pierwiastkiem arytmetycznym $\sqrt[n]{a}$ stopnia $n\geq2$ z liczby $a\geq0$ nazywamy liczbę $b\geq0$ taką, że $$b^{n} = a.$$
Przykłady.

Dla $\color{red}{\sqrt{\color{black}{25}}}\color{black}{=5}$, bo: $$5^{\color{red}{2}} = 25,$$
Dla $\color{red}{\sqrt{\color{black}{36}}}\color{black}{=6}$, bo: $$6^{\color{red}{2}} = 36,$$
Dla $\color{red}{\sqrt[3]{\color{black}{8}}}\color{black}{=2}$, bo: $$2^{\color{red}{3}} = 8,$$
Dla $\color{red}{\sqrt[4]{\color{black}{16}}}\color{black}{=2}$, bo: $$2^{\color{red}{4}} = 16.$$

Jeżeli $a < 0$ oraz liczba $n$ jest nieparzysta, to $\sqrt[n]{a}$ oznacza liczbę $b < 0$ taką, że $$b^{n} =a$$.Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.
Pierwiastek 2 stopnia to inaczej pierwiastek kwadratowy. Pierwiastek 3 stopnia to inaczej pierwiastek sześcienny.
Przy zapisie pierwiastka kwadratowego, pomijamy 2 w zapisie pierwiastka.
W szczególności, dla dowolnej liczby $a$ zachodzi równość: $$\sqrt{a^{2}}=|a|.$$
Pierwiastek $n$ stopnia można też zapisać w postaci potęgi, tzn. $$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}},$$ gdzie $a\geq 0, n\in \mathbb{Z\backslash\{0\}}.$
Przykłady.
$$\color{red}{\sqrt{\color{black}{a}}}\color{black}{=a}^{\frac{\color{black}{1}}{\color{red}{2}}}$$ $$\color{red}{\sqrt[3]{\color{black}{a}}}\color{black}{=a}^{\frac{\color{black}{1}}{\color{red}{3}}}$$

Zadania

Zadanie 1.
Oblicz:

$\sqrt{81},~\sqrt{144},~\sqrt{225},~\sqrt[3]{-27},~\sqrt[3]{64},~\sqrt[5]{32},~\sqrt[5]{-32},~\sqrt[3]{-1000}$

$$\sqrt{81} = \sqrt{9^{2}} = 9$$ $$\sqrt{144} = \sqrt{12^{2}} = 12$$ $$\sqrt{225} = \sqrt{15^{2}} = 15$$ $$\sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{(-3)^{3}} = -3$$ $$\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^{3}} = 4$$ $$\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^{5}} = 2$$ $$\sqrt[5]{-32} = \sqrt[5]{(-2)^{5}} = -2$$ $$\sqrt[3]{-1000} = \sqrt[3]{(-10)^{3}} = -10$$

Zadanie 2.
Zamień pierwiastek na potęgę o wykładniku $\frac{1}{n}$ o najmniejszej podstawie:

$\sqrt{81},~\sqrt{225},~\sqrt[3]{81},~\sqrt[5]{-64},~\sqrt{25},~\sqrt[9]{-125}$

$$\sqrt{81} = \sqrt{3^{4}} = 3^{\frac{4}{2}}$$ $$\sqrt{225} = \sqrt{15^{2}} = 15^{\frac{2}{2}}$$ $$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^{4}} = 3^{\frac{4}{3}}$$ $$\sqrt[3]{-64} = \sqrt[5]{(-4)^{3}} = (-4)^{\frac{3}{5}}$$

$$\sqrt{25} = \sqrt{5^{2}} = 5^{\frac{2}{2}}$$ $$\sqrt[9]{-125} = \sqrt[9]{(-5)^{3}} = (-5)^{\frac{3}{9}} = (-5)^{\frac{1}{3}}$$
0