Pierwiastkowanie liczb

Pierwiastkowanie pozwala znaleźć liczbę, która podniesiona do odpowiedniej potęgi daje wartość pod pierwiastkiem. Poznaj definicję pierwiastka arytmetycznego i przećwicz obliczenia na przykładach.

Zanim zaczniemy pierwiastkować, to przypomnijmy definicję pierwiastkowania.

Pierwiastkiem arytmetycznym $\sqrt[n]{a}$ stopnia

n\geq2

z liczby $a\geq0$ nazywamy liczbę $b\geq0$ taką, że

b^{n} = a.

Przykłady.

Dla $\color{red}{\sqrt{\color{black}{25}}}\color{black}{=5}$ , bo: $5^{\color{red}{2}} = 25,$
Dla $\color{red}{\sqrt{\color{black}{36}}}\color{black}{=6}$ , bo: $6^{\color{red}{2}} = 36,$
Dla $\color{red}{\sqrt[3]{\color{black}{8}}}\color{black}{=2}$ , bo: $2^{\color{red}{3}} = 8,$
Dla $\color{red}{\sqrt[4]{\color{black}{16}}}\color{black}{=2}$ , bo: $2^{\color{red}{4}} = 16.$

Jeżeli

a < 0

oraz liczba

n

jest nieparzysta, to

\sqrt[n]{a}

oznacza liczbę

b < 0

taką, że

b^{n} =a

.Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.

Pierwiastek 2 stopnia to inaczej pierwiastek kwadratowy. Pierwiastek 3 stopnia to inaczej pierwiastek sześcienny.
Przy zapisie pierwiastka kwadratowego, pomijamy 2 w zapisie pierwiastka.
W szczególności, dla dowolnej liczby

a

zachodzi równość:

\sqrt{a^{2}}=|a|.

Pierwiastek $n$ stopnia można też zapisać w postaci potęgi, tzn.

\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}},

gdzie

a\geq 0, n\in \mathbb{Z\backslash\{0\}}.

Przykłady.

\color{red}{\sqrt{\color{black}{a}}}\color{black}{=a}^{\frac{\color{black}{1}}{\color{red}{2}}}

\color{red}{\sqrt[3]{\color{black}{a}}}\color{black}{=a}^{\frac{\color{black}{1}}{\color{red}{3}}}

Zadania

Zadanie 1.
Oblicz:

\sqrt{81},~\sqrt{144},~\sqrt{225},~\sqrt[3]{-27},~\sqrt[3]{64},~\sqrt[5]{32},~\sqrt[5]{-32},~\sqrt[3]{-1000}

$\sqrt{81} = \sqrt{9^{2}} = 9$ $\sqrt{144} = \sqrt{12^{2}} = 12$ $\sqrt{225} = \sqrt{15^{2}} = 15$ $\sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{(-3)^{3}} = -3$ $\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^{3}} = 4$ $\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^{5}} = 2$ $\sqrt[5]{-32} = \sqrt[5]{(-2)^{5}} = -2$ $\sqrt[3]{-1000} = \sqrt[3]{(-10)^{3}} = -10$

Zadanie 2.
Zamień pierwiastek na potęgę o wykładniku

\frac{1}{n}

o najmniejszej podstawie:

\sqrt{81},~\sqrt{225},~\sqrt[3]{81},~\sqrt[5]{-64},~\sqrt{25},~\sqrt[9]{-125}

$\sqrt{81} = \sqrt{3^{4}} = 3^{\frac{4}{2}}$ $\sqrt{225} = \sqrt{15^{2}} = 15^{\frac{2}{2}}$ $\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^{4}} = 3^{\frac{4}{3}}$ $\sqrt[3]{-64} = \sqrt[5]{(-4)^{3}} = (-4)^{\frac{3}{5}}$

\sqrt{25} = \sqrt{5^{2}} = 5^{\frac{2}{2}}

\sqrt[9]{-125} = \sqrt[9]{(-5)^{3}} = (-5)^{\frac{3}{9}} = (-5)^{\frac{1}{3}}

Autor: Martyna Szczygieł

Zadania

Komentarze

Dodaj komentarz Anuluj odpowiedź