Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma dwie kwadratowe podstawy i prostokątne ściany boczne. Poznaj jego siatkę oraz wzory potrzebne do obliczania objętości i pola powierzchni całkowitej.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Graniastosłupem prawidłowym czworokątnym nazywamy graniastosłup, którego podstawą jest kwadrat, oraz wszystkie jego ściany boczne są prostokątami prostopadłymi do krawędzi podstawy.

Zwróćmy uwagę na to, jak wygląda siatka graniastosłupa prawidłowego czworokątnego:

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Objętość graniastosłupa liczymy wzorem:

W przypadku graniastosłupa prawidłowego czworokątnego mamy:

Zatem:

Pole powierzchni całkowitej granistosłupa prawidłowego czworokątnego

Narysujmy obrazek poglądowy:

Podstawiając pod wzory na pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego otrzymujemy:
$P_C=2\cdot 4^2+4\cdot 4\cdot 8=32+128=160$
$V=4^2\cdot 8=128$
Odpowiedź:Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa to 160, a jest objętość, to 128.

Narysujmy obrazek poglądowy:

Z treści zadania wiemy, że $P_C=176,$ zatem
$176=2x^2+4\cdot 9x$
$2x^2+36x-176=0$
Rozwiązanie tego równania jest równoważne znalezieniu miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f(x)=2x^2+36x-176$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={36}^2-4\cdot 2\cdot (-176)=1296+1408=2704$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=52$
$x_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-36-52}{2\cdot 2}=-22$
$x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-36+52}{2\cdot 2}=4$
Ponieważ długość musi być nieujemna interesujący nas wynik, to $x_2,$ zatem $x=x_2=4$
Odpowiedź: Długość krawędzi podstawy podanego graniastosłupa to 4.

Narysujmy obrazek poglądowy:

Narysujmy dodatkowo kwadrat $ABCD,$ oraz trójkąt $DB{B}^{\prime }$

Na początek zauważmy, że trójkąt $DB{B}^{\prime }$ jest połową kwadratu o boku długości 10. Mamy zatem $\mid DB\mid =\mid B{B}^{\prime }\mid =10.$
Odcinek $DB$ jest przekątną kwadratu $ABCD,$ stąd i z wiedzy, że przekątna kwadratu o boku długości $a$ ma długość $a\sqrt{2}$ możemy łatwo wyznaczyć długość boku tego kwadratu,
$\mid AB\mid \cdot \sqrt{2}=\mid DB\mid$
$\mid AB\mid \cdot \sqrt{2}=10\mid :\sqrt{2}$
$\mid AB\mid =\frac{10}{\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$
Mając długość odcinka $AB$ możemy obliczyć pole powierzchni całkowitej i objętość podanego graniastosłupa.

$P_C=2(5\sqrt{2}{)}^2+4\cdot 10\cdot 5\sqrt{2}=100+200\sqrt{2}$

$V=(5\sqrt{2}{)}^2\cdot 10=500$
Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa to $100+200\sqrt{2},$ a jego objętość to $500.$