Średniookresowe tempo zmian (zwane również średnim lub średniorocznym tempem zmian czy wzrostu) mówi nam jak średnio zmieniają się wartości z okresu na okres.

Możemy policzyć je na 2 sposoby:

Wzór 1:

Średniookresowe tempo zmian wykorzystując wartości w pierwszym i końcowym okresie.
$$\LARGE{\overline{i}_{g}=\sqrt[n-1]{\frac{y_{n}}{y_{0}}}}$$
gdzie:
$y_{n}$ to wartość z ostatniego okresu
$y_{0}$ z pierwszego okresu
$n$ to liczba okresówPotem obliczamy stopę zmian: $$r=\overline{i}_{g}-1$$

Przykład 1:

Lata $(t)$ Produkcja $(y)$
2003 50
2004 52
2005 48
2006 46
2007 51
2008 54
Mamy n=6 okresów, wartość w ostatnim okresie to 54 a w pierwszym to 50 więc średniookresowe tempo zmian liczymy następująco:
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[6-1]{\frac{54}{50}}=1,0155$$
$$r=1,0155-1=0,0155$$
A więc wartości rosły średnio o 1,55% co roku.

Wzór 2:

Średniookresowe tempo zmian wykorzystując indeksy łańcuchowe – liczymy średnią harmoniczną wszystkich indeksów łańcuchowych
$$\LARGE{\overline{i}_{g}=\sqrt[n-1]{i_{n/n-1} \cdot i_{n-1/n-2} \cdot \ldots \cdot i_{2/1} \cdot i_{1/0}}}$$
Gdzie:
$i_{n/n-1}$ – ostatni indeks łańcuchowy
$i_{1/0}$ – pierwszy indeks łańcuchowyPotem obliczamy stopę zmian: $$r=\overline{i}_{g}-1$$

Przykład 2:

Lata $(t)$ Produkcja $(y)$ Indeksy łańcuchowe
2003 50 1
2004 52 1,040
2005 48 0,923
2006 46 0,958
2007 51 1,109
2008 54 1,059

(indeksy łańcuchowe liczymy dzieląc wartość z danego okresu przez wartość z poprzedniego okresu)

Więc
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[5]{1 \cdot 1,04 \cdot 0,923 \cdot 0,958 \cdot 1,109 \cdot 1,059}=1,0155$$ Obliczamy stopę zmian:
$$r=1,0155-1=0,0155$$
Odp: Wartości rosły średnio o 1,55% co roku.
Uwaga: Odpowiedź podajemy w procentach.
Uwaga 2: Jeżeli $\overline{i}_{g}$ wyjdzie mniejsze niż 1 to mówimy o średniookresowym tempie spadku np. $\overline{i}_{g}=0,95$, to $r=0,95-1=-0,05$ a więc co okres wartości maleją średnio o 5%.

Prognozowanie wielkości w przyszłości

Często w poleceniu mamy wyliczyć średnie tempo zmian, a następnie policzyć prognozę wartości np. za 3 lata.
Korzystamy wtedy ze wzoru na procent składany:
$$K_n=K_0(1+r)^n$$
Gdzie:
$K_n$ – wartość końcowa
$K_0$ – wartość początkowa
$r$ – stopa procentowa
$n$ – liczba okresów.

Przykład 3: Średnioroczne tempo wzrostu spożycia wyrobów tytoniowych jest równe 4,2%. Jeśli dziś kupujemy 450 paczek papierosów to ile ich będziemy kupować za trzy lata zakładając, że tempo zmian poziomu spożycia pozostanie takie samo?
Rozwiązanie: Z treści zadania wiemy, że:
$$\overline{i}_{g}=0,042$$
Za 3 lata będziemy kupować:
$$450(1+0,042)^3=509,11$$
Odpowiedź: Za 3 lata będziemy kupować około 509 paczek papierosów rocznie.

Typowe zadania

Przykład 4: Oblicz średniookresowe tempo zmian dynamiki cen:

Rok Cena produktu
2000 20
2001 24
2002 25
2003 32
2004 36

Rozwiązanie: Szeregi przedstawiają dynamikę cen towaru (w zł):

(tabelkę przedstawiliśmy tym razem poziomo a nie pionowo)

Lata 2000 2001 2002 2003 2004
Numery okresów $(n)$ 0 1 2 3 4
Wartość cechy $(y_{n})$ 20 24 25 32 36
Indeksy łańcuchowe
$(i_{n/n-1})$
1 1,20 1,04 1,28 1,125
Indeksy jednopodstawowe $(i_{n/0})$ 1 1,20 1,25 1,60 1,80

Ze wzoru 1 – podstawawiamy ostatnią i pierwszą wartość:
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[4]{\frac{36}{20}}$$
Ze wzoru 2 – podstawiamy indeksy łańcuchowe:
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[4]{1,20\cdot 1,04 \cdot 1,28 \cdot 1,125}$$
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[4]{1,8}$$
Zatem
$$r=\overline{i}_{g}-1=\sqrt[4]{1,8}-1=0,158$$
Interpretacja: W latach 2000-2004 cena towaru wzrastała przeciętnie z roku na rok o $15,8\%$ (średnie roczne tempo wzrostu cen wynosi $0,158\cdot 100\%=15,8\%$).

Przykład 5: Oblicz średniookresowe tempo zmian liczby kiosków w Polsce w latach 2006-2009:

Rok Liczba kiosków
2006 15789
2007 15935
2008 15521
2009 14758

Rozwiązanie: Poniższa tabela przedstawia tempo zmian liczby kiosków w Polsce w latach 2006-2009:

Rok Liczba kiosków Indeksy jednopodstawowe
$(i_{t/t^{*}=2006})$
Indeksy łańcuchowe
$(i_{t/t-1})$
2006 15789 1 1
2007 15935 1,009 1,009
2008 15521 0,983 0,974
2009 14758 0,935 0,951

Ze wzoru 1 – podstawawiamy ostatnią i pierwszą wartość:
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[3]{\frac{14758}{15789}}$$
Ze wzoru 2 – podstawiamy indeksy łańcuchowe:
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[3]{1,009\cdot 0,974 \cdot 0,951}$$
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[3]{0,935}$$
Zatem
$$\overline{i}_{g}=0,978$$
Obliczamy średnie tempo zmian:
$$r=0,978-1$$
$$r=-0,022$$
Interpretacja: W latach 2006-2009 liczba kiosków spadała z roku na rok o przeciętnie $2,2\%$.

0