Możemy policzyć je na 2 sposoby:
Wzór 1:
$$\LARGE{\overline{i}_{g}=\sqrt[n-1]{\frac{y_{n}}{y_{0}}}}$$
gdzie:
$y_{n}$ to wartość z ostatniego okresu
$y_{0}$ z pierwszego okresu
$n$ to liczba okresówPotem obliczamy stopę zmian: $$r=\overline{i}_{g}-1$$
Przykład 1:
| Lata $(t)$ | Produkcja $(y)$ |
| 2003 | 50 |
| 2004 | 52 |
| 2005 | 48 |
| 2006 | 46 |
| 2007 | 51 |
| 2008 | 54 |
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[6-1]{\frac{54}{50}}=1,0155$$
$$r=1,0155-1=0,0155$$
A więc wartości rosły średnio o 1,55% co roku.
Wzór 2:
$$\LARGE{\overline{i}_{g}=\sqrt[n-1]{i_{n/n-1} \cdot i_{n-1/n-2} \cdot \ldots \cdot i_{2/1} \cdot i_{1/0}}}$$
Gdzie:
$i_{n/n-1}$ – ostatni indeks łańcuchowy
$i_{1/0}$ – pierwszy indeks łańcuchowyPotem obliczamy stopę zmian: $$r=\overline{i}_{g}-1$$
Przykład 2:
| Lata $(t)$ | Produkcja $(y)$ | Indeksy łańcuchowe |
| 2003 | 50 | 1 |
| 2004 | 52 | 1,040 |
| 2005 | 48 | 0,923 |
| 2006 | 46 | 0,958 |
| 2007 | 51 | 1,109 |
| 2008 | 54 | 1,059 |
(indeksy łańcuchowe liczymy dzieląc wartość z danego okresu przez wartość z poprzedniego okresu)
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[5]{1 \cdot 1,04 \cdot 0,923 \cdot 0,958 \cdot 1,109 \cdot 1,059}=1,0155$$ Obliczamy stopę zmian:
$$r=1,0155-1=0,0155$$
Odp: Wartości rosły średnio o 1,55% co roku.
Prognozowanie wielkości w przyszłości
Często w poleceniu mamy wyliczyć średnie tempo zmian, a następnie policzyć prognozę wartości np. za 3 lata.
Korzystamy wtedy ze wzoru na procent składany:
$$K_n=K_0(1+r)^n$$
Gdzie:
$K_n$ – wartość końcowa
$K_0$ – wartość początkowa
$r$ – stopa procentowa
$n$ – liczba okresów.
$$\overline{i}_{g}=0,042$$
Za 3 lata będziemy kupować:
$$450(1+0,042)^3=509,11$$
Odpowiedź: Za 3 lata będziemy kupować około 509 paczek papierosów rocznie.
Typowe zadania
Przykład 4: Oblicz średniookresowe tempo zmian dynamiki cen:
| Rok | Cena produktu |
| 2000 | 20 |
| 2001 | 24 |
| 2002 | 25 |
| 2003 | 32 |
| 2004 | 36 |
Rozwiązanie: Szeregi przedstawiają dynamikę cen towaru (w zł):
(tabelkę przedstawiliśmy tym razem poziomo a nie pionowo)
| Lata | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 |
| Numery okresów $(n)$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Wartość cechy $(y_{n})$ | 20 | 24 | 25 | 32 | 36 |
| Indeksy łańcuchowe $(i_{n/n-1})$ |
1 | 1,20 | 1,04 | 1,28 | 1,125 |
| Indeksy jednopodstawowe $(i_{n/0})$ | 1 | 1,20 | 1,25 | 1,60 | 1,80 |
Ze wzoru 1 – podstawawiamy ostatnią i pierwszą wartość:
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[4]{\frac{36}{20}}$$
Ze wzoru 2 – podstawiamy indeksy łańcuchowe:
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[4]{1,20\cdot 1,04 \cdot 1,28 \cdot 1,125}$$
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[4]{1,8}$$
Zatem
$$r=\overline{i}_{g}-1=\sqrt[4]{1,8}-1=0,158$$
Interpretacja: W latach 2000-2004 cena towaru wzrastała przeciętnie z roku na rok o $15,8\%$ (średnie roczne tempo wzrostu cen wynosi $0,158\cdot 100\%=15,8\%$).
Przykład 5: Oblicz średniookresowe tempo zmian liczby kiosków w Polsce w latach 2006-2009:
| Rok | Liczba kiosków |
| 2006 | 15789 |
| 2007 | 15935 |
| 2008 | 15521 |
| 2009 | 14758 |
Rozwiązanie: Poniższa tabela przedstawia tempo zmian liczby kiosków w Polsce w latach 2006-2009:
| Rok | Liczba kiosków | Indeksy jednopodstawowe $(i_{t/t^{*}=2006})$ |
Indeksy łańcuchowe $(i_{t/t-1})$ |
| 2006 | 15789 | 1 | 1 |
| 2007 | 15935 | 1,009 | 1,009 |
| 2008 | 15521 | 0,983 | 0,974 |
| 2009 | 14758 | 0,935 | 0,951 |
Ze wzoru 1 – podstawawiamy ostatnią i pierwszą wartość:
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[3]{\frac{14758}{15789}}$$
Ze wzoru 2 – podstawiamy indeksy łańcuchowe:
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[3]{1,009\cdot 0,974 \cdot 0,951}$$
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[3]{0,935}$$
Zatem
$$\overline{i}_{g}=0,978$$
Obliczamy średnie tempo zmian:
$$r=0,978-1$$
$$r=-0,022$$
Interpretacja: W latach 2006-2009 liczba kiosków spadała z roku na rok o przeciętnie $2,2\%$.
