To będzie bardziej teoretyczny wpis, jeżeli chcesz przejść do zadań z rozkładu normalnego wykorzystujące krzywa Gaussa kliknij tutaj .
Dowiesz się jakie IQ ma 0.3% najgłupszych amerykanów i jak łatwo rozpoznać fałszowanie wyników matur.
Co to jest krzywa Gaussa?
Krzywa Gaussa obrazuje funkcję gęstości rozkładu normalnego. Opisuje jak rozkładają się teoretyczne wartości zmiennych o rozkładzie normalnym.
W przyrodzie takimi zmiennymi są na przykład:
- Długość stopy
- Poziom IQ
- Waga jabłek
Jeżeli zebralibyśmy 1000 jabłek z jednego sadu i pomierzyli ich wagi to te wartość ułożyłyby się właśnie w krzywą Gaussa:
Okazałoby się np. średnia waga to 150g – oś symetrii wykresu ( najwięcej jabłek miało właśnie wagę mniej więcej 150g). Im większa lub mniejsza waga tym coraz mniej takich jabłek.
Średnia i odchylenie standardowe rozkładu normalnego:
Rozkład normalny ma 2 parametry:
- Średnią
- Odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe mówi jak mocno „rozstrzelone” są wartości wokół średniej.
- Jeżeli:
- profesor Bułkowski najczęściej stawia 3, niechętnie 2 lub 4 i nigdy 1 i 5 i postawił grupie oceny: 3,3,4,3,3,2,4,2,3,3,3
- a profesor Chlebowski stawia chętnie jedynki, ale równie chętnie 5 i postawił grupie 3,1,5,2,4,5,1,3,2,4,
to odchylenie standardowe będzie większe w drugim przypadku, gdyż oceny są bardziej zróżnicowane.
Reguła trzech sigm
Niech X będzie oznaczało IQ badanej osoby u USA. X ma rozkład normalny o parametrach średnia-100 i odchylenie standardowe-15.
Okazuje się, że „w odległości” jednego odchylenia od średniej znajduje się 68% wszystkich wyników. Czyli 68% amerykanów ma IQ w przedziale $(100-15, 100+15)$ czyli $(85, 115)$.
„W odległości” dwóch odchyleń od średniej znajduje się 95% wszystkich wyników. Czyli 95% amerykanów ma IQ w przedziale $(100-30, 100+30)$, czyli $(70, 130)$
I w końcu „w odległości” trzech odchyleń od średniej znajduje się 99.7% wszystkich wyników. Czyli 99.7% amerykanów ma IQ w przedziale $(100-45, 100+45)$, czyli $(55, 145)$.
Tylko 0.3% populacji ma IQ niższe od 55 lub wyższe od 145.
I na koniec ciekawostka: „sfałszowane” wyniki z matury z j.polskiego z 2010 roku
Wyniki w prawidłowo wyskalowanym i prawidłowo ocenianym teście powinny układać się w krzywą Gaussa.
Na tym przykładzie jasno widać, że wyniki są zaburzone.
Nie trzeba długo się zastanawiać, że zaliczenie matury było od 21 punktów.
Wniosek? Sprawdzający nauczyciele na siłę podciągali wyniki uczniów którzy mieli 17, 18, 19, 20 punktów.
