Odległość punktu od prostej

Łatwo zauważyć, że:

• jeżeli $P=(1,2)$, to $x_p=1$ i $y_p=2$
• jeżeli $2x+4y-1=0$, to $A=2$, $B=4$, $C=-1$

$$d=\frac{|A\cdot x_p+B\cdot y_p+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$$$d=\frac{|2\cdot 1+4\cdot 2+(-1)|}{\sqrt{2^2+4^2}}$$

$$d=\frac{|2+8-1|}{\sqrt{20}}$$

$$d=\frac{9}{\sqrt{20}}$$

Podstawiamy do wzoru:

$$d=\frac{|A\cdot x_p+B\cdot y_p+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

$$d=\frac{|-3\cdot 0+7\cdot 0+(-5)|}{\sqrt{(-3{)}^2+(7{)}^2}}$$

$$d=\frac{|-5|}{\sqrt{58}}$$

Wiemy, że odległość jest dodatnia, więc:

$d=\frac{5}{\sqrt{58}}=$$\frac{5}{\sqrt{58}}\cdot 1$$=\frac{5}{\sqrt{58}}\cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$$=\frac{5\sqrt{58}}{58}$

Podstawiamy do wzoru:

$$d=\frac{|A\cdot x_p+B\cdot y_p+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

$$d=\frac{|-1\cdot 1+1\cdot 0+3|}{\sqrt{(-1{)}^2+1^2}}$$

$$d=\frac{|-1+3|}{\sqrt{2}}$$

$$d=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$

Z treści zadania wiemy, że $A_1=2$, $A_2=2$, $B_1=1$, $B_2=1$.

$A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$ $\iff$ $2\cdot 1-2\cdot 1=0$ $\iff$ $2-2=0$ $\iff$ $0=0$ $\iff$ $L=P$

Zauważmy, że do prostej $k$ należy punkt $P=(1,-1)$ $\Rightarrow$ $x_p=1$, $y_p=-1$.

Weźmy pod uwagę prostą $l:$ $2x+y+4$ $\Rightarrow$ $A=2$, $B=1$, $C=4$.

Podstawiamy do wzoru:

$d=\frac{|A\cdot x_p+B\cdot y_p+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$=\frac{|2\cdot 1+1\cdot (-1)+4|}{\sqrt{2^2+1^2}}$$=\frac{|2-1+4|}{\sqrt{5}}=$$\frac{5}{\sqrt{5}}$$=\sqrt{5}$