Liczba sposobów, na które spośród $n$ różnych elementów można wybrać $k$ $(0\leq k\leq n)$ elementów, jest równa $$\Large{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}$$

Jest to wzór na kombinacje.

W zadaniach z kombinacji:

1) kolejność wyboru elementów ze zbioru nie jest istotna, czyli dwa podzbiory o tych samych elementach, ale różnej kolejności wyboru są tą samą kombinacją (np. $\{a,b\}, \{b,a\}$)

2) wybieramy $k$ elementów ze zbioru liczącego $n$ – elementów ($n>k$).

Przed rozwiązywaniem zadań przypomnij sobie symbol Newtona.

Przykład: Na ile sposobów możemy wybrać $3$ – osobową delegację grupy $10$ osób?

Wybierając delegację tworzymy podzbiór (nie ciąg!), czyli nie ważne w jakiej kolejności wybierzemy poszczególne osoby do delegacji. Delegacja ${Asia, Kasia, Staś}$ i ${Staś, Kasia, Asia}$ są takie same.

Zatem tworzymy $k = 3$ elementową kombinację zbioru $n=10$ elementów.

$\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$$ = \begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}$$ = \frac{10!}{3!(10-3)!}$$ = \frac{10!}{3! \cdot 7!}$$ = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8\cdot 7!}{3! \cdot 7!}$$ = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!}$$ = \frac{720}{6}$$ = 120$

Odpowiedź: Taką delegację możemy wybrać na $120$ sposobów.

Przykład: Na ile sposobów może wypaść $6$ spośród $49$ kul lotto?

W losowaniu nie jest ważna kolejność losowanych kul.

Wypadnie $k = 6$ – kul z $n = 49$ możliwych (kule nie będą się powtarzały). Otrzymujemy kombinację:

$\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$$ = \begin{pmatrix}49\\6\end{pmatrix}$$ = \frac{49!}{6!(49-6)!}$$ = \frac{49!}{6! \cdot 43!}$$ = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43!}{43! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }$$ = 13983816$

Odpowiedź: Jest $13983816$ możliwych losowań $6$ kul w grze lotto.

Przykład: Z talii liczącej $52$ karty losujemy bez zwracania pięć kart. Ile istnieje wyników losowań, w których otrzymamy dwa kiery?

Talia kart składa się z $4$ kolorów po $13$ kart. Kolejność losowanie nie ma znaczenia. Co musimy wylosować?

1) Z $n = 13$ kierów chcemy $k = 2$ karty, czyli $\begin{pmatrix}13\\2\end{pmatrix}$

2) Zostały do wylosowania $k = 3$ karty. Wybierzemy je ze zbioru pozostałych $n = 39$ kart   ($3 \, kolory \cdot 13 \,  kart = 39 \, kart$), czyli $\begin{pmatrix}39\\3\end{pmatrix}$

Wszystkich możliwości jest:

$\begin{pmatrix}13\\2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}39\\3\end{pmatrix}$$ = \frac{13!}{11! \cdot 2!} \cdot \frac{39!}{36! \cdot 3!}$$ = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11!}{11! \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{39  \cdot  38 \cdot 37 \cdot 36!}{36! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} $$ = 712842$

Odpowiedź: Otrzymamy $712842$ możliwych wyników losowań.

Przykład: Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną co najmniej z dwóch chłopców z klasy liczącej $16$ chłopców i $14$ dziewcząt.

Zwróćmy uwagę na kluczowe słowo co najmniej, przez które otrzymujemy dwa przypadki:

I przypadek – 3 chłopców i 1 dziewczynka

II przypadek – 3 chłopców

Dla pierwszego przypadku:

Ze zbioru $n = 16$ chłopców losujemy $2$: $\begin{pmatrix}16\\2\end{pmatrix}$ i jednocześnie wybieramy 1 dziewczynkę z 14 możliwych: $\begin{pmatrix}14\\1\end{pmatrix}$.

W I przypadku mamy $\begin{pmatrix}16\\2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}14\\1\end{pmatrix}$ możliwych delegacji.

Dla drugiego przypadku:

Wybieramy $k = 3$ chłopców z 16 możliwch: $\begin{pmatrix}16\\3\end{pmatrix}$

Aby połączyć oba przypadki sumujemy poszczególne możliwości

$\begin{pmatrix}16\\2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}14\\1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}16\\3\end{pmatrix}$$ = \frac{16!}{14! \cdot 2!} \cdot \frac{14!}{13! \cdot 1!} + \frac{16!}{13! \cdot 3!}$$ = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14!}{14! \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{14 \cdot 13!}{13!} + \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13!}{13! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$$ = 8 \cdot 15 \cdot 14 + 16 \cdot 5 \cdot 7$$ = 1680 + 560$$ = 2240$.

Odpowiedź: Delegację można wybrać na $2240$ możliwości.

0