Linia trendu pomaga opisać ogólny kierunek zmian badanego zjawiska w czasie. Zobacz, jak wyznaczyć jej parametry i wykorzystać równanie do analizy danych.
Linia trendu to najczęściej funkcja prostoliniowa opisująca zmiany zjawiska w czasie
Wzór matematyczny: y równa się a razy t plus b. y = a ⋅ t + b y to wartość zjawiska w kolejnym okresie t Wzór matematyczny: a równa się ułamek: licznik suma od: i równa się 1; do: n; koniec granic nawias otwierający t z indeksem dolnym: i; koniec indeksu minus t z kreską nad wyrażeniem nawias zamykający nawias otwierający y z indeksem dolnym: i; koniec indeksu minus y z kreską nad wyrażeniem nawias zamykający; mianownik suma od: i równa się 1; do: n; koniec granic nawias otwierający t z indeksem dolnym: i; koniec indeksu minus t z kreską nad wyrażeniem nawias zamykający do kwadratu; koniec ułamka. a = ∑ i = 1 n ( t i − t ― ) ( y i − y ― ) ∑ i = 1 n ( t i − t ― ) 2 Wzór matematyczny: b równa się y z kreską nad wyrażeniem minus a t z kreską nad wyrażeniem. b = y ― − a t ―
Linia trendu jest podobna do prostej regresji liniowej Wzór matematyczny: x. x Wzór matematyczny: t. t
Jeżeli mamy podane w poleceniu lata, to wygodnie jest je zamienić na liczby 1,2,3…
Przykład 1. Pewien emeryt od poniedziałku do piątku notował ile czasu spędzał codziennie na czytaniu ulubionej gazety. Uzyskał następujące wartości (w min.):
Wzór matematyczny: 18 przecinek 22 przecinek 25 przecinek 23 przecinek 26. 18 , 22 , 25 , 23 , 26 .
Oszacuj i zinterpretuj parametry liniowej funkcji trendu opisującej zmiany czasu czytania gazety w kolejnych dniach.
Niech:
Wzór matematyczny: t równa się 1 przecinek 2 przecinek 3 przecinek 4 przecinek 5. t = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 - kolejne dnie tygodnia,
Wzór matematyczny: Y. Y - czas czytania.Tworzymy tabelkę:
Wzór matematyczny: t z indeksem dolnym: i; koniec indeksu. t i Wzór matematyczny: y z indeksem dolnym: i; koniec indeksu. y i Wzór matematyczny: t z indeksem dolnym: i; koniec indeksu minus t z kreską nad wyrażeniem. t i − t ― Wzór matematyczny: y z indeksem dolnym: i; koniec indeksu minus y z kreską nad wyrażeniem. y i − y ― Wzór matematyczny: nawias otwierający t z indeksem dolnym: i; koniec indeksu minus t z kreską nad wyrażeniem nawias zamykający do kwadratu. ( t i − t ― ) 2 Wzór matematyczny: nawias otwierający t z indeksem dolnym: i; koniec indeksu minus t z kreską nad wyrażeniem nawias zamykający nawias otwierający y z indeksem dolnym: i; koniec indeksu minus y z kreską nad wyrażeniem nawias zamykający. ( t i − t ― ) ( y i − y ― )
1
18
-2,0
-4,8
4,0
9,6
2
22
-1,0
-0,8
1,0
0,8
3
25
0,0
2,2
0,0
0,0
4
23
1,0
0,2
1,0
0,2
5
26
2,0
3,2
4,0
6,4
Wzór matematyczny: suma. ∑ 10,0 17,0
gdzie:Wzór matematyczny: t z kreską nad wyrażeniem równa się ułamek: licznik 1 plus 2 plus 3 plus 4 plus 5; mianownik 5; koniec ułamka równa się 3. t ― = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 5 = 3 Wzór matematyczny: y z kreską nad wyrażeniem równa się ułamek: licznik 18 plus 22 plus 25 plus 23 plus 26; mianownik 5; koniec ułamka równa się 22 przecinek 8. y ― = 18 + 22 + 25 + 23 + 26 5 = 22 , 8
Podstawiamy sumy ostatnich kolumn:Wzór matematyczny: a równa się ułamek: licznik suma od: i równa się 1; do: n; koniec granic nawias otwierający t z indeksem dolnym: i; koniec indeksu minus t z kreską nad wyrażeniem nawias zamykający nawias otwierający y z indeksem dolnym: i; koniec indeksu minus y z kreską nad wyrażeniem nawias zamykający; mianownik suma od: i równa się 1; do: n; koniec granic nawias otwierający t z indeksem dolnym: i; koniec indeksu minus t z kreską nad wyrażeniem nawias zamykający do kwadratu; koniec ułamka równa się ułamek: licznik 17; mianownik 10; koniec ułamka równa się 1 przecinek 7. a = ∑ i = 1 n ( t i − t ― ) ( y i − y ― ) ∑ i = 1 n ( t i − t ― ) 2 = 17 10 = 1 , 7
Podstawiamy wartości a i wartości średnich:Wzór matematyczny: b równa się y z kreską nad wyrażeniem minus a t z kreską nad wyrażeniem równa się 22 przecinek 8 minus 3 razy 1 przecinek 7 równa się 17 przecinek 7. b = y ― − a t ― = 22 , 8 − 3 ⋅ 1 , 7 = 17 , 7
Wobec tego:Wzór matematyczny: y równa się 17 przecinek 7 plus 1 przecinek 7 razy t. y = 17 , 7 + 1 , 7 ⋅ t
Interpretacja:
Jeżeli Wzór matematyczny: t. t Wzór matematyczny: y. y
Współczynnika wyrazu wolnego Wzór matematyczny: b równa się 17 przecinek 7. b = 17 , 7 nie interpretujemy . Jest to wartość Y, gdyby Wzór matematyczny: t. t
Przykład 2 - wzór 2. Na niektórych uczelniach korzysta się też w innych wzorów (które dają oczywiście te same wyniki).
Tutaj obliczyliśmy
l inię trendu korzystając ze wzoru wykorzystującego
kowariancję i
wariancję: Wzór matematyczny: y równa się a razy t plus b. y = a ⋅ t + b
Wzór matematyczny: a równa się ułamek: licznik c o v nawias otwierający t przecinek y nawias zamykający; mianownik s do kwadratu nawias otwierający t nawias zamykający; koniec ułamka. a = c o v ( t , y ) s 2 ( t )
Wzór matematyczny: b równa się y z kreską nad wyrażeniem minus a razy t z kreską nad wyrażeniem. b = y ― − a ⋅ t ―
gdzie wariancję możemy policzyć ze wzoru: Wzór matematyczny: s do kwadratu nawias otwierający t nawias zamykający równa się t do kwadratu z kreską nad wyrażeniem minus nawias otwierający t do kwadratu z kreską nad wyrażeniem nawias zamykający do kwadratu. s 2 ( t ) = t 2 ― − ( t 2 ― ) 2 Wzór matematyczny: c o v nawias otwierający t przecinek y nawias zamykający równa się y t z kreską nad wyrażeniem minus t z kreską nad wyrażeniem razy y z kreską nad wyrażeniem. c o v ( t , y ) = y t ― − t ― ⋅ y ―
Wzór matematyczny: t. t Wzór matematyczny: y. y Wzór matematyczny: t razy y. t ⋅ y Wzór matematyczny: t do kwadratu. t 2
1,0
100,0
100,0
1,0
2,0
102,0
204,0
4,0
3,0
108,0
324,0
9,0
4,0
124,0
496,0
16,0
średnie 2,5 108,5 281,0 7,5
gdzie:Wzór matematyczny: t z kreską nad wyrażeniem równa się ułamek: licznik 1 plus 2 plus 3 plus 4; mianownik 4; koniec ułamka równa się 2 przecinek 5. t ― = 1 + 2 + 3 + 4 4 = 2 , 5 Wzór matematyczny: y z kreską nad wyrażeniem równa się ułamek: licznik 100 plus 102 plus 108 plus 124; mianownik 4; koniec ułamka równa się 108 przecinek 5. y ― = 100 + 102 + 108 + 124 4 = 108 , 5 Wzór matematyczny: t y z kreską nad wyrażeniem równa się ułamek: licznik 100 plus 204 plus 324 plus 496; mianownik 4; koniec ułamka równa się 281. t y ― = 100 + 204 + 324 + 496 4 = 281 Wzór matematyczny: t do kwadratu z kreską nad wyrażeniem równa się ułamek: licznik 1 plus 4 plus 9 plus 16; mianownik 4; koniec ułamka równa się 7 przecinek 5. t 2 ― = 1 + 4 + 9 + 16 4 = 7 , 5
Policzmy wariację z Wzór matematyczny: t. t oraz kowariancję z Wzór matematyczny: t. t Wzór matematyczny: y. y , czyli:Wzór matematyczny: s do kwadratu nawias otwierający t nawias zamykający równa się t do kwadratu z kreską nad wyrażeniem minus nawias otwierający t do kwadratu z kreską nad wyrażeniem nawias zamykający do kwadratu równa się 7 przecinek 5 minus 2 przecinek 5 do kwadratu. s 2 ( t ) = t 2 ― − ( t 2 ― ) 2 = 7 , 5 − 2 , 5 2 Wzór matematyczny: równa się 1 przecinek 25. = 1 , 25 Wzór matematyczny: c o v nawias otwierający t przecinek y nawias zamykający równa się y t z kreską nad wyrażeniem minus t z kreską nad wyrażeniem razy y z kreską nad wyrażeniem równa się 281. c o v ( t , y ) = y t ― − t ― ⋅ y ― = 281 Wzór matematyczny: minus 2 przecinek 5 razy 108 przecinek 5 równa się 9 przecinek 75. − 2 , 5 ⋅ 108 , 5 = 9 , 75
Stąd współczynnik liniowy wynosi:Wzór matematyczny: a równa się ułamek: licznik c o v nawias otwierający t przecinek y nawias zamykający; mianownik s do kwadratu nawias otwierający t nawias zamykający; koniec ułamka równa się ułamek: licznik 9 przecinek 75; mianownik 1 przecinek 25; koniec ułamka równa się 7 przecinek 8. a = c o v ( t , y ) s 2 ( t ) = 9 , 75 1 , 25 = 7 , 8
Zostało nam do policzenia współczynnik Wzór matematyczny: b. b Wzór matematyczny: b równa się y z kreską nad wyrażeniem minus a razy t z kreską nad wyrażeniem równa się 108 przecinek 5 minus 7 przecinek 8 razy 2 przecinek 5. b = y ― − a ⋅ t ― = 108 , 5 − 7 , 8 ⋅ 2 , 5 Wzór matematyczny: równa się 89. = 89
Zatem linia trendu to:Wzór matematyczny: y równa się 7 przecinek 8 x plus 89. y = 7 , 8 x + 89
Bibliografia:
Maksimowicz-Ajchel Alicja, Wstęp do statystyki: Metody opisu statystycznego , Warszawa, Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego, 2007, ISBN 978-83-235-0267-8
Komentarze