Linia trendu to najczęściej funkcja prostoliniowa opisująca zmiany zjawiska w czasie

$$ \large{y = a \cdot t + b}$$
gdzie y to wartość zjawiska w kolejnym okresie t
$$\large {a = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(t_{i} – \overline{t} \right)\left(y_{i} – \overline{y} \right)}{\sum_{i=1}^{n} \left(t_{i} – \overline{t}\right)^{2}}}$$
$$\large{b = \overline{y} – a\overline{t} }$$

Linia trendu jest podobna do prostej regresji liniowej.
Zamiast wartości $x$, mamy kolejne numery okresów $t$ (t=1, t=2, t=3,…).

Jeżeli mamy podane w poleceniu lata, to wygodnie jest je zamienić na liczby 1,2,3…
Przykład 1.
Pewien emeryt od poniedziałku do piątku notował ile czasu spędzał codziennie na czytaniu ulubionej gazety. Uzyskał następujące wartości (w min.): $18,22,25,23,26$.
Oszacuj i zinterpretuj parametry liniowej funkcji trendu opisującej zmiany czasu czytania gazety w kolejnych dniach.
Niech:
$t=1,2,3,4,5$ – kolejne dnie tygodnia,
$Y$ – czas czytania.Tworzymy tabelkę:

$t_{i}$ $y_{i}$ $t_{i}-\overline{t}$ $y_{i}-\overline{y}$ $\left(t_{i}-\overline{t}\right)^{2}$ $\left(t_{i}-\overline{t}\right)\left(y_{i} – \overline{y}\right)$
1 18 -2,0 -4,8 4,0 9,6
2 22 -1,0 -0,8 1,0 0,8
3 25 0,0 2,2 0,0 0,0
4 23 1,0 0,2 1,0 0,2
5 26 2,0 3,2 4,0 6,4
$\sum$ 10,0 17,0

gdzie:
$\overline{t} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$
$\overline{y} = \frac{18+22+25+23+26}{5} = 22,8$

Podstawiamy sumy ostatnich kolumn:
$a = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(t_{i} – \overline{t} \right)\left(y_{i} – \overline{y} \right)}{\sum_{i=1}^{n} \left(t_{i} – \overline{t}\right)^{2}} = \frac{17}{10} = 1,7$

Podstawiamy wartości a i wartości średnich:
$b = \overline{y} – a\overline{t} = 22,8 – 3 \cdot 1,7 = 17,7$

Wobec tego:
$$y = 17,7 + 1,7 \cdot t$$

Interpretacja:

Jeżeli $t$ rośnie o 1, to $y$ rośnie o 1,7, czyli emeryt czyta średnio o 1,7 więcej dziennie.

Współczynnika wyrazu wolnego $b = 17,7$ nie interpretujemy. Jest to wartość Y, gdyby $t$ było równe 0.

Przykład 2 – wzór 2.
Na niektórych uczelniach korzysta się też w innych wzorów (które dają oczywiście te same wyniki).
Tutaj obliczyliśmy linię trendu korzystając ze wzoru wykorzystującego kowariancję i wariancję:
$$y = a \cdot t + b$$

$$a = \frac{cov(t,y)}{s^{2}(t)}$$

$$b = \overline{y} – a \cdot \overline{t}$$

gdzie wariancję możemy policzyć ze wzoru: $s^{2}(t) = \overline{t^{2}} – \left(\overline{t^{2}}\right)^{2}$
a kowariancję: $cov(t,y) = \overline{yt} – \overline{t} \cdot \overline{y} $

$t$ $y$ $t \cdot y$ $t^{2}$
1,0 100,0 100,0 1,0
2,0 102,0 204,0 4,0
3,0 108,0 324,0 9,0
4,0 124,0 496,0 16,0
średnie 2,5 108,5 281,0 7,5

gdzie:
$\overline{t} = \frac{1+2+3+4}{4} = 2,5$
$\overline{y} = \frac{100+102+108+124}{4} = 108,5$
$\overline{ty} = \frac{100+204+324+496}{4} = 281$
$\overline{t^{2}} = \frac{1+4+9+16}{4} = 7,5$

Policzmy wariację z $t$ oraz kowariancję z $t$ i $y$, czyli:
$s^{2}(t) = \overline{t^{2}} – \left(\overline{t^{2}}\right)^{2} = 7,5 – 2,5^{2} $$= 1,25$
$cov(t,y) = \overline{yt} – \overline{t} \cdot \overline{y} = 281 $$- 2,5 \cdot 108,5 = 9,75$

Stąd współczynnik liniowy wynosi:
$a = \frac{cov(t,y)}{s^{2}(t)} = \frac{9,75}{1,25} = 7,8$

Zostało nam do policzenia współczynnik $b$. Wobec tego:
$b = \overline{y} – a \cdot \overline{t} = 108,5 – 7,8 \cdot 2,5$$ = 89$

Zatem linia trendu to:
$$y = 7,8x + 89$$

0