Wykres funkcji liniowej

Aby narysować wykres wybieramy dowolne argumenty $x$ i obliczamy dla nich wartość funkcji ze wzoru $\iff$ obliczamy $f(x)$.

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$f(-1)$	$f(0)$	$f(1)$	$f(2)$
	$y$$=-$$(-1)$$+1$	$y$$=-$$0$$+1$	$y$$=-$$1$$+1$	$y$$=-$$2$$+1$
$y$$=$	$2$	$1$	$0$	$(-1)$
Otrzymaliśmy punkt $($$x$, $y$)	$($$-1$, $2$)	$($$0$, $1$)	$($$1$, $0$)	$($$2$, $-1$)

Zaznaczamy punkty z tabeli w układzie współrzędnych i łączymy je prostą.

Otrzymaliśmy wykres funkcji.

Sposób 1:
Jednym ze sposobów na rozwiązanie tego zadania jest wyznaczenie równania kierunkowego prostej, które przekształcimy na równanie ogólne (bo w tej postaci mamy nasze odpowiedzi).

Szukamy współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego funkcji liniowej aby uzupełnić niewiadome $a$ i $b$ w postaci kierunkowej $y=a\cdot x+b$ .

Punkt $B=(0,b)$ to punkt przecięcia wykresu funkcji liniowej z osią $OY$. Widzimy, że wykres przecina oś $OY$ dla $y=$$2$. Znaleźliśmy wyraz wolny $b$, uzupełniamy niewiadomą.

Mamy: $y=a\cdot x+2$

Wykres funkcji przecina oś $OX$ w punkcie $(6,0)$, jest to miejsce zerowe. Podstawmy je do naszego wzoru

$y=a\cdot x+2$
$0=a\cdot 6+2$	$|$ Zamiana stronami
$a\cdot 6+2=0$	$|-2$
$6\cdot a=-2$	$|:6$
$a=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$

Wyznaczyliśmy równanie kierunkowe prostej: $y=-\frac{1}{3}\cdot x+2$.
Wyznaczmy równanie ogólne $\iff$ Doprowadźmy do postaci $Ax+By+C=0$ czyli takiej, która najbardziej przypomina nam możliwe opcje wyboru.

$y=-\frac{1}{3}x+2$	$|+\frac{1}{3}x$
$y+\frac{1}{3}x=2$	$|-2$
$y+\frac{1}{3}x-2=0$	$|\cdot 3$
$3y+x-6=0$	$|$ Porządkujemy
$x+3y-6=0$

Odpowiedź: C.

Sposób 2:
Z wykresu odczytać możemy, że prosta przechodzi przez dwa punkty o współrzędnych $A=(0,2)$ i $B=(6,0)$. Aby znaleźć równanie kierunkowe prostej możemy użyć metody wyznaczania prostej przechodzącej przez dwa punkty. Nauczymy Cię jej w kolejnym dziale - potraktuj to jako ćwiczenie 🙂

Dalsza część jak w powyższym przykładzie.

Funkcja liniowa jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik kierunkowy $a$ (liczba przy $x$) jest mniejszy od $0$, więc rozwiązujemy nierówność:

$a<0$
$3-m<0$	$|-3$
$-m<0-3$
$-m<-3$	$|\cdot (-1)$
$m>3$

Uwaga: Pamiętaj o zamianie znaku $>$ lub $<$ na przeciwny przy dzieleniu nierówności przez liczby ujemne!

Odpowiedź: Funkcja jest malejąca dla $m>3$ $\iff$ $m\in (3,+\mathrm{\infty })$.

Funkcja liniowa jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik kierunkowy $a$ (liczba przy $x$) jest równy $0$. W naszym przypadku $a=\frac{1}{2}m+1$, zatem rozwiązujemy równanie:

$a=0$
$\frac{1}{2}m+1=0$	$|-1$
$\frac{1}{2}m=-1$	$|\cdot 2$
$m=-2$

Odpowiedź: Funkcja jest stała dla $m=-2$.

Funkcja liniowa $f(x)$ jest malejąca, gdy $a<0$. Wiedząc, że ma ona dodatnie miejsce zerowe narysujmy przykładowy wykres funkcji. Przecina on oś $OY$ w punkcie $(0,b)$.

Patrząc na przykładowy wykres funkcji widzimy, że $b$ musi być dodatnie, czyli $b>0$.

Ostatecznie $a<0$ i $b>0$.

Funkcja jest rosnąca, zatem $a>0$.

Funkcja przecina oś $OY$ pod osią $OX$, stąd $b<0$.

Odpowiedź: $a>0$ i $b<0$.

Proste są malejące, zatem
$a<0$	$m<0$
Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, więc
$a\cdot$$m>0$

Wartości $b$ i $n$ możemy wyczytać wprost z wykresu
$b=2$	$n=-1$
Iloczyn liczb dodatniej i ujemnej jest ujemny, zatem
$b\cdot$$n<0$

Ostatecznie $a\cdot$$m>0$ i $b\cdot$$n<0$.

Odpowiedź: B.

Narysujmy najpierw wykres funkcji $y=x+1$.
Wyobraź sobie, że funkcja rzuca cień na oś $OX$.

Widać, że ten cień się nie kończy. Wynika z tego, że dziedziną funkcji $y=x+1$ jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$.

Odpowiedź: Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$.

Funkcja $f$ określona jest wzorem $y=x+1$.
Uwaga! Funkcja jest określona TYLKO dla liczb z przedziału $<-75,50>$.
Wyobraź sobie, że funkcja rzuca cień na oś $OX$. Ten cień to dziedzina.

Widać, że ten cień jest ograniczony. Wynika z tego że dziedziną jest konkretny przedział.

W tym przypadku dziedziną funkcji $y=x+1$ jest przedział $<-75,50>$.

Okazuje się, że dziedzina określona była już w zadaniu i do jej wyznaczenia nie potrzeba rysunku. Przeanalizujmy treść ponownie:

Funkcja $f$ określona jest wzorem $y=x+1$ dla każdej liczby z przedziału $<-75,50>$.

Odpowiedź: Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $<-75,50>$.

Nic nie ogranicza nam osi $OX$.	Nic nie ogranicza nam osi $OX$.
Dziedzina=$\mathbb{R}$	Dziedzina=$\mathbb{R}$
Nic nie ogranicza nam osi $OY$.	Nic nie ogranicza nam osi $OY$.
ZW=$\mathbb{R}$	ZW=$\mathbb{R}$

Widzimy, że oś $OX$ jest ograniczona przedziałem.

Nasza funkcja rzuca cień na oś $OX$ od $-\mathrm{\infty }$ do $1$. Wynika z tego, że dziedziną funkcji jest przedział $(-\mathrm{\infty },1>$.

Widzimy, że oś $OY$ jest ograniczona przedziałem.

Nasza funkcja rzuca cień na oś $OX$ od $2$ do $+\mathrm{\infty }$. Wynika z tego, że zbiorem wartości funkcji jest przedział $<2,+\mathrm{\infty })$.

Odpowiedź: Dziedzina$=(-\mathrm{\infty },1>$, ZW$=<2,+\mathrm{\infty })$.

Na podstawie jednego z poprzednich przykładów możemy odczytać, że
Dziedzina$=<-1,2>$

Widzimy, że oś $OY$ jest ograniczona przedziałem.
Nasza funkcja rzuca cień na oś $OX$ od $-1$ do $5$.
Wynika z tego, że zbiorem wartości funkcji jest przedział $<-1,5>$.

Odpowiedź: Dziedzina$=<-1,2>$, ZW$=<-1,5>$.