Przypomnienie
$$\Large{f(x)={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a} \cdot x + {\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}}$$
gdzie ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}$, ${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}$ $\in\mathbb{R}$ oraz
- ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}$ nazywamy ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}w}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}s}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}p}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}ó}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}ł}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}c}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}z}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}y}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}n}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}n}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}i}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}k}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}i}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}e}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}m}$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}k}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}i}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}e}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}r}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}u}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}n}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}k}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}o}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}w}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}y}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}m}$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}p}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}r}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}o}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}s}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}t}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}e}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}j}$
- $b$ nazywamy ${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}w}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}y}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}r}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}a}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}z}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}e}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}m}$ ${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}w}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}o}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}\mathrm ln}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}y}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}m}$
Wykres funkcji liniowej
W układzie współrzędnych wykres funkcji liniowej to nic innego jak linia prosta.
Najprostszym sposobem na narysowanie wykresu jest stworzenie tabeli, w której wybieramy dowolne $x$ i podstawiając do wzoru obliczamy dla nich wartości $y$.
Przykład: Dana jest funkcja $y=-x+1$. Narysuj wykres danej funkcji.
${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}x}$ | ${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}-1}$ | ${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}0}$ | ${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}1}$ | ${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}2}$ |
$f({\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}x})$ | $f({\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}-1})$ | $f({\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}0})$ | $f({\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}1})$ | $f({\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}2})$ |
${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}y}$$=-$${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}(-1)}$$+1$ | ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}y}$$=-$${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}0}$$+1$ | ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}y}$$=-$${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}1}$$+1$ | ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}y}$$=-$${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}2}$$+1$ | |
${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}y}$$=$ | ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}2}$ | ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}1}$ | ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}0}$ | ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}(-1)}$ |
Otrzymaliśmy punkt $($${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}x}$, ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}y}$) |
$($${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}-1}$, ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}2}$) | $($${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}0}$, ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}1}$) | $($${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}1}$, ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}0}$) | $($${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}2}$, ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}-1}$) |
Zaznaczamy punkty z tabeli w układzie współrzędnych i łączymy je prostą.
Otrzymaliśmy wykres funkcji.

A. $x-3y+6=0$ | B. $x+3y+6=0$ | C. $x+3y-6=0$ | D. $x-3y-6=0$ |
Jednym ze sposobów na rozwiązanie tego zadania jest wyznaczenie równania kierunkowego prostej, które przekształcimy na równanie ogólne (bo w tej postaci mamy nasze odpowiedzi).
Wykres funkcji przecina oś $OX$ w punkcie $({\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}6},{\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}0})$, jest to miejsce zerowe. Podstawmy je do naszego wzoru
${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}y}={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}\cdot{\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}x} +{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}2}$ | |
${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}0}={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}\cdot{\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}6} +2$ | $|$ Zamiana stronami |
${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}\cdot{\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}6} +2={\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}0}$ | $|-2$ |
$6\cdot{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}=-2$ | $|:6$ |
${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}=-\frac26=-\frac13$ |
Wyznaczyliśmy równanie kierunkowe prostej: $y={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}-\frac13} \cdot x + {\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}2}$.
Wyznaczmy równanie ogólne $\Leftrightarrow$ Doprowadźmy do postaci $Ax+By+C=0$ czyli takiej, która najbardziej przypomina nam możliwe opcje wyboru.
$y=-\frac13x+2$ | $|+\frac13x$ |
$y+\frac13x=2$ | $|-2$ |
$y+\frac13x-2=0$ | $|\cdot3$ |
$3y+x-6=0$ | $|$ Porządkujemy |
$x+3y-6=0$ |
Odpowiedź: C.
Z wykresu odczytać możemy, że prosta przechodzi przez dwa punkty o współrzędnych $A=(0,2)$ i $B=(6,0)$. Aby znaleźć równanie kierunkowe prostej możemy użyć metody wyznaczania prostej przechodzącej przez dwa punkty. Nauczymy Cię jej w kolejnym dziale – potraktuj to jako ćwiczenie 🙂
Monotoniczność funkcji liniowej
Funkcja liniowa jest | ||
malejąca | stała | rosnąca |
![]() |
![]() |
![]() |
${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}<0$ | ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}=0$ | ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}>0$ |
Funkcja liniowa jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik kierunkowy ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}$ (liczba przy $x$) jest mniejszy od $0$, więc rozwiązujemy nierówność:
${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}<0$ | |
${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}3-m}<0$ | $|-3$ |
$-m<0-3$ | |
$-m<-3$ | $|\cdot(-1)$ |
$m>3$ |
Uwaga: Pamiętaj o zamianie znaku $>$ lub $<$ na przeciwny przy dzieleniu nierówności przez liczby ujemne!
Odpowiedź: Funkcja jest malejąca dla $m>3$ $\Leftrightarrow$ $m\in(3,\;+\infty)$.
Funkcja liniowa jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik kierunkowy ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}$ (liczba przy $x$) jest równy $0$. W naszym przypadku $a=\frac12m+1$, zatem rozwiązujemy równanie:
$a=0$ | |
$\frac12m+1=0$ | $|-1$ |
$\frac12m=-1$ | $|\cdot2$ |
$m=-2$ |
Odpowiedź: Funkcja jest stała dla $m=-2$.
Przykład: Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ jest malejąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Wynika stąd, że
A. $a>0$ i $b<0$ | B. $a>0$ i $b>0$ | C. $a<0$ i $b<0$ | D. $a<0$ i $b>0$ |

Patrząc na przykładowy wykres funkcji widzimy, że $b$ musi być dodatnie, czyli $b>0$.


Zatem:
A. $a\cdot$$m>0$ $b\cdot$$n>0$ |
B. $a\cdot$$m>0$ $b\cdot$$n<0$ |
C. $a\cdot$$m<0$ $b\cdot$$n>0$ |
D. $a\cdot$$m<0$ $b\cdot$$n<0$ |
Proste są malejące, zatem | |
$a<0$ | $m<0$ |
Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, więc | |
$a\cdot$$m>0$ |
Wartości $b$ i $n$ możemy wyczytać wprost z wykresu | |
$b=2$ | $n=-1$ |
Iloczyn liczb dodatniej i ujemnej jest ujemny, zatem | |
$b\cdot$$n<0$ |
Ostatecznie $a\cdot$$m>0$ i $b\cdot$$n<0$.
Odpowiedź: B.
Dziedzina i zbiór wartości funkcji liniowej
Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ (jeżeli w zadaniu nie jest określone inaczej!)
Wyobraź sobie, że funkcja rzuca cień na oś $OX$.

Widać, że ten cień się nie kończy. Wynika z tego, że dziedziną funkcji $y=x+1$ jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$.
Odpowiedź: Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$.
Przykład: Funkcja $f$ określona jest wzorem $y=x+1$ dla każdej liczby z przedziału $<-75,50>$. Podaj dziedzinę tej funkcji.
Uwaga! Funkcja jest określona TYLKO dla liczb z przedziału $<-75,50>$.
Wyobraź sobie, że funkcja rzuca cień na oś $OX$. Ten cień to dziedzina.

Widać, że ten cień jest ograniczony. Wynika z tego że dziedziną jest konkretny przedział.
W tym przypadku dziedziną funkcji $y=x+1$ jest przedział $<-75,50>$.
Okazuje się, że dziedzina określona była już w zadaniu i do jej wyznaczenia nie potrzeba rysunku. Przeanalizujmy treść ponownie:
Funkcja $f$ określona jest wzorem $y=x+1$ dla każdej liczby z przedziału $<-75,50>$.
Odpowiedź: Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $<-75,50>$.

Przykład: Odczytaj z wykresu dziedzinę i zbiór wartości funkcji.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Nic nie ogranicza nam osi $OX$. | Nic nie ogranicza nam osi $OX$. |
Dziedzina=$\mathbb{R}$ | Dziedzina=$\mathbb{R}$ |
Nic nie ogranicza nam osi $OY$. | Nic nie ogranicza nam osi $OY$. |
ZW=$\mathbb{R}$ | ZW=$\mathbb{R}$ |

Widzimy, że oś $OX$ jest ograniczona przedziałem. |
Nasza funkcja rzuca cień na oś $OX$ od $-\infty$ do $1$.
Wynika z tego, że dziedziną funkcji jest przedział $(-\infty,1>$. |
Widzimy, że oś $OY$ jest ograniczona przedziałem. |
Nasza funkcja rzuca cień na oś $OX$ od $2$ do $+\infty$.
Wynika z tego, że zbiorem wartości funkcji jest przedział $<2,+\infty)$. |
Odpowiedź: Dziedzina$=(-\infty,1>$, ZW$=<2,+\infty)$.
Uwaga: U uczniów częstym problemem jest poprawna kolejność w zapisie dziedziny lub zbioru wartości. Często zamiast ZW$=<2,+\infty)$ zapisuje się ZW$=(+\infty,2>$.
Dlaczego ten zapis nie jest poprawny ?
W dziedzinie i zbiorze wartości liczby z przedziału powinny występować w kolejności rosnącej np.
Dziedzina$=(-\infty,1>$ $\Leftrightarrow$ $(-\infty, -100, -99, -98, … ,-2, -1, 0, 1>$.
ZW$=<2,+\infty)$ $\Leftrightarrow$ $<2, 3, 4, …, 99, 100, … , +\infty)$.
Czy teraz zapis ZW$=(+\infty,2>$ wydaje się nielogiczny ? 🙂
Dziedzina$=<-1, 2>$

Widzimy, że oś $OY$ jest ograniczona przedziałem.
Nasza funkcja rzuca cień na oś $OX$ od $-1$ do $5$.
Wynika z tego, że zbiorem wartości funkcji jest przedział $<-1,5>$.
Odpowiedź: Dziedzina$=<-1, 2>$, ZW$=<-1,5>$.