Przypomnienie

Funkcją liniową nazywamy funkcję $f$ określoną wzorem:
$$\Large{f(x)={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a} \cdot x + {\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}}$$
gdzie ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}$, ${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}$ $\in\mathbb{R}$ oraz

  • ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}$ nazywamy ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}w}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}s}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}p}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}ó}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}ł}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}c}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}z}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}y}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}n}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}n}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}i}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}k}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}i}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}e}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}m}$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}k}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}i}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}e}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}r}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}u}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}n}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}k}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}o}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}w}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}y}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}m}$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}p}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}r}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}o}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}s}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}t}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}e}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}j}$
  • $b$ nazywamy ${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}w}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}y}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}r}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}a}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}z}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}e}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}m}$ ${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}w}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}o}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}\mathrm ln}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}y}{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}m}$

Wykres funkcji liniowej

W układzie współrzędnych wykres funkcji liniowej to nic innego jak linia prosta.
Najprostszym sposobem na narysowanie wykresu jest stworzenie tabeli, w której wybieramy dowolne $x$ i podstawiając do wzoru obliczamy dla nich wartości $y$.

Uwaga: Do narysowania wykresu funkcji liniowej wystarczą dwa punkty, jednak dla dokładności rysunku wyznaczymy cztery punkty 🙂

Przykład: Dana jest funkcja $y=-x+1$. Narysuj wykres danej funkcji.

Aby narysować wykres wybieramy dowolne argumenty $x$ i obliczamy dla nich wartość funkcji ze wzoru $\Leftrightarrow$ obliczamy $f(x)$.
${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}x}$ ${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}-1}$ ${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}0}$ ${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}1}$ ${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}2}$
$f({\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}x})$ $f({\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}-1})$ $f({\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}0})$ $f({\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}1})$ $f({\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}2})$
${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}y}$$=-$${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}(-1)}$$+1$ ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}y}$$=-$${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}0}$$+1$ ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}y}$$=-$${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}1}$$+1$ ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}y}$$=-$${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}2}$$+1$
${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}y}$$=$ ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}2}$ ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}1}$ ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}0}$ ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}(-1)}$
Otrzymaliśmy punkt
$($${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}x}$, ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}y}$)
$($${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}-1}$, ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}2}$) $($${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}0}$, ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}1}$) $($${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}1}$, ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}0}$) $($${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}2}$, ${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}-1}$)

Zaznaczamy punkty z tabeli w układzie współrzędnych i łączymy je prostą.

Otrzymaliśmy wykres funkcji.

Przykład: Wskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na poniższym wykresie

A. $x-3y+6=0$ B. $x+3y+6=0$ C. $x+3y-6=0$ D. $x-3y-6=0$
Sposób 1:
Jednym ze sposobów na rozwiązanie tego zadania jest wyznaczenie równania kierunkowego prostej, które przekształcimy na równanie ogólne (bo w tej postaci mamy nasze odpowiedzi).
Szukamy współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego funkcji liniowej aby uzupełnić niewiadome ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}$ i ${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}$ w postaci kierunkowej $y={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a} \cdot x + {\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}$ .
Punkt $B=(0, {\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b})$ to punkt przecięcia wykresu funkcji liniowej z osią $OY$. Widzimy, że wykres przecina oś $OY$ dla $y=$${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}2}$. Znaleźliśmy wyraz wolny ${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}$, uzupełniamy niewiadomą.
Mamy: $y={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a} \cdot x + {\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}2}$

Wykres funkcji przecina oś $OX$ w punkcie $({\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}6},{\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}0})$, jest to miejsce zerowe. Podstawmy je do naszego wzoru

${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}y}={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}\cdot{\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}x} +{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}2}$
${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}0}={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}\cdot{\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}6} +2$ $|$ Zamiana stronami
${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}\cdot{\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}6} +2={\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}0}$ $|-2$
$6\cdot{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}=-2$ $|:6$
${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}=-\frac26=-\frac13$

Wyznaczyliśmy równanie kierunkowe prostej: $y={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}-\frac13} \cdot x + {\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}2}$.
Wyznaczmy równanie ogólne $\Leftrightarrow$ Doprowadźmy do postaci $Ax+By+C=0$ czyli takiej, która najbardziej przypomina nam możliwe opcje wyboru.

$y=-\frac13x+2$ $|+\frac13x$
$y+\frac13x=2$ $|-2$
$y+\frac13x-2=0$ $|\cdot3$
$3y+x-6=0$ $|$ Porządkujemy
$x+3y-6=0$

Odpowiedź: C.

Sposób 2:
Z wykresu odczytać możemy, że prosta przechodzi przez dwa punkty o współrzędnych $A=(0,2)$ i $B=(6,0)$. Aby znaleźć równanie kierunkowe prostej możemy użyć metody wyznaczania prostej przechodzącej przez dwa punkty. Nauczymy Cię jej w kolejnym dziale – potraktuj to jako ćwiczenie 🙂
Dalsza część jak w powyższym przykładzie.

 

Monotoniczność funkcji liniowej

Funkcja liniowa jest
malejąca stała rosnąca
${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}<0$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}=0$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}>0$
Przykład: Dla jakiego $m$ funkcja liniowa $y=(3-m)x+12$ jest malejąca?

Funkcja liniowa jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik kierunkowy ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}$ (liczba przy $x$) jest mniejszy od $0$, więc rozwiązujemy nierówność:

${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}<0$
${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}3-m}<0$ $|-3$
$-m<0-3$
$-m<-3$ $|\cdot(-1)$
$m>3$

Uwaga: Pamiętaj o zamianie znaku $>$ lub $<$ na przeciwny przy dzieleniu nierówności przez liczby ujemne!

Odpowiedź: Funkcja jest malejąca dla $m>3$ $\Leftrightarrow$ $m\in(3,\;+\infty)$.

Przykład: Dla jakiego $m$ funkcja liniowa $y=(\frac12m+1)x+12$ jest stała?

Funkcja liniowa jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik kierunkowy ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}$ (liczba przy $x$) jest równy $0$. W naszym przypadku $a=\frac12m+1$, zatem rozwiązujemy równanie:

$a=0$
$\frac12m+1=0$ $|-1$
$\frac12m=-1$ $|\cdot2$
$m=-2$

Odpowiedź: Funkcja jest stała dla $m=-2$.

Przykład: Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ jest malejąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Wynika stąd, że

A. $a>0$ i $b<0$ B. $a>0$ i $b>0$ C. $a<0$ i $b<0$ D. $a<0$ i $b>0$
Funkcja liniowa $f(x)$ jest malejąca, gdy $a<0$. Wiedząc, że ma ona dodatnie miejsce zerowe narysujmy przykładowy wykres funkcji. Przecina on oś $OY$ w punkcie $(0,b)$.

Patrząc na przykładowy wykres funkcji widzimy, że $b$ musi być dodatnie, czyli $b>0$.
Ostatecznie $a<0$ i $b>0$.
Odpowiedź: D.
Przykład: Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej opisanej równaniem kierunkowym $y=ax+b$. Jakie znaki mają współczynnik kierunkowy prostej $a$ i wyraz wolny $b$?
Funkcja jest rosnąca, zatem $a>0$.
Funkcja przecina oś $OY$ pod osią $OX$, stąd $b<0$.
Odpowiedź: $a>0$ i $b<0$.
Przykład: Na rysunku przedstawiono dwie proste równoległe $k:$ $y=ax+b$ i $l:$ $y=mx+n$.

Zatem:

A. $a\cdot$$m>0$
$b\cdot$$n>0$
B. $a\cdot$$m>0$
$b\cdot$$n<0$
C. $a\cdot$$m<0$
$b\cdot$$n>0$
D. $a\cdot$$m<0$
$b\cdot$$n<0$
Proste są malejące, zatem
$a<0$ $m<0$
Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, więc
$a\cdot$$m>0$
Wartości $b$ i $n$ możemy wyczytać wprost z wykresu
$b=2$ $n=-1$
Iloczyn liczb dodatniej i ujemnej jest ujemny, zatem
$b\cdot$$n<0$

Ostatecznie $a\cdot$$m>0$ i $b\cdot$$n<0$.

Odpowiedź: B.

Dziedzina i zbiór wartości funkcji liniowej

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ (jeżeli w zadaniu nie jest określone inaczej!)

Przykład: Funkcja $f$ określona jest wzorem $y=x+1$. Podaj dziedzinę tej funkcji.
Narysujmy najpierw wykres funkcji $y=x+1$.
Wyobraź sobie, że funkcja rzuca cień na oś $OX$.

Widać, że ten cień się nie kończy. Wynika z tego, że dziedziną funkcji $y=x+1$ jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$.

Odpowiedź:
Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$.

Przykład: Funkcja $f$ określona jest wzorem $y=x+1$ dla każdej liczby z przedziału $<-75,50>$. Podaj dziedzinę tej funkcji.

Funkcja $f$ określona jest wzorem $y=x+1$.
Uwaga! Funkcja jest określona TYLKO dla liczb z przedziału $<-75,50>$.
Wyobraź sobie, że funkcja rzuca cień na oś $OX$. Ten cień to dziedzina.

Widać, że ten cień jest ograniczony. Wynika z tego że dziedziną jest konkretny przedział.

W tym przypadku dziedziną funkcji $y=x+1$ jest przedział $<-75,50>$.

Okazuje się, że dziedzina określona była już w zadaniu i do jej wyznaczenia nie potrzeba rysunku. Przeanalizujmy treść ponownie:

Funkcja $f$ określona jest wzorem $y=x+1$ dla każdej liczby z przedziału $<-75,50>$.

Odpowiedź:
Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $<-75,50>$.

Zbiorem wartości (przeciwdziedziną) MOŻE BYĆ zbiór liczb rzeczywistych bądź, jeśli funkcja jest stała tj. współczynnik $a=0$, więc np. $f(x)=0x+10$, zatem $f(x)=10$, to zbiorem wartości jest jedna liczba, tutaj akurat ZW=${10}$.
Uwaga: Pojęcie zbioru wartości często występuje wraz z pojęciem dziedziny. Jeżeli w zadaniu dziedzina określona jest jako przedział, to również przeciwdziedzina staje się ograniczona.

Przykład: Odczytaj z wykresu dziedzinę i zbiór wartości funkcji.

Nic nie ogranicza nam osi $OX$. Nic nie ogranicza nam osi $OX$.
Dziedzina=$\mathbb{R}$ Dziedzina=$\mathbb{R}$
Nic nie ogranicza nam osi $OY$. Nic nie ogranicza nam osi $OY$.
ZW=$\mathbb{R}$ ZW=$\mathbb{R}$
Przykład: Odczytaj z wykresu dziedzinę i zbiór wartości funkcji.
Widzimy, że oś $OX$ jest ograniczona przedziałem.
Nasza funkcja rzuca cień na oś $OX$ od $-\infty$ do $1$.

Wynika z tego, że dziedziną funkcji jest przedział $(-\infty,1>$.

Widzimy, że oś $OY$ jest ograniczona przedziałem.
Nasza funkcja rzuca cień na oś $OX$ od $2$ do $+\infty$.

Wynika z tego, że zbiorem wartości funkcji jest przedział $<2,+\infty)$.

Odpowiedź: Dziedzina$=(-\infty,1>$, ZW$=<2,+\infty)$.

Uwaga: U uczniów częstym problemem jest poprawna kolejność w zapisie dziedziny lub zbioru wartości. Często zamiast ZW$=<2,+\infty)$ zapisuje się ZW$=(+\infty,2>$.

Dlaczego ten zapis nie jest poprawny ?

W dziedzinie i zbiorze wartości liczby z przedziału powinny występować w kolejności rosnącej np.

Dziedzina$=(-\infty,1>$ $\Leftrightarrow$ $(-\infty, -100, -99, -98, … ,-2, -1, 0, 1>$.

ZW$=<2,+\infty)$ $\Leftrightarrow$ $<2, 3, 4, …, 99, 100, … , +\infty)$.

Czy teraz zapis ZW$=(+\infty,2>$ wydaje się nielogiczny ? 🙂

Przykład: Funkcja $f$ określona jest wzorem $y=2x+1$ dla każdej liczby z przedziału $<-1,2>$. Podaj dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji.
Na podstawie jednego z poprzednich przykładów możemy odczytać, że
Dziedzina$=<-1, 2>$

Widzimy, że oś $OY$ jest ograniczona przedziałem.
Nasza funkcja rzuca cień na oś $OX$ od $-1$ do $5$.
Wynika z tego, że zbiorem wartości funkcji jest przedział $<-1,5>$.

Odpowiedź:
 Dziedzina$=<-1, 2>$, ZW$=<-1,5>$.
0