Wzór funkcji kwadratowej można przedstawić w trzech postaciach.

Postać ogólna

Postać ogólna wzoru funkcji kwadratowej to $$\Large{f(x) = ax^2 + bx + c}$$

gdzie:
$a≠0$
$a$, $b$, $c$ to współczynniki funkcji.

Uwaga: Gdyby $a=0$, to byłaby to funkcja liniowa, bo
$f(x) =0 \cdot x^2 + bc + c$
$f(x) = bx + c$

Z tej postaci od razu można odczytać punkt przecięcia paraboli z osią $OY$ oraz skierowanie ramion paraboli (to czy funkcja jest smutna czy uśmiechnięta WIĘCEJ TUTAJ).

Przykład:

  • $f(x) = x^2 + x +3$ $a = 1$ – ramiona paraboli skierowane są w górę, punkt przecięcia paraboli z osią $OY$ to $(0, 3)$
  • $f(x) = -3x^2 + 2x -1$ $a=-3$ – ramiona paraboli skierowane są w dół, punkt przecięcia paraboli z osią $OY$ to $(0, -1)$

Postać kanoniczna

Postać kanoniczna wzoru funkcji kwadratowej to
$$\Large{f(x) = a(x-p)^2+q}$$
gdzie $a≠0$.

Z tej postaci od razu można odczytać współrzędne wierzchołka $W=(p,q)$ oraz zbiór wartości funkcji.

Przykład:

  • $f(x) = -\frac{1}{2}(x+7)^2 – 6$ $a=-\frac{1}{2}$ – ramiona paraboli skierowane są w dół, $W=(-7, 6)$, czyli zbiór wartości to $ZW = <6, +\infty)$
  • $f(x) = x^2 + 4$ $a = 1$ – ramiona paraboli skierowane są w górę, $W=(0, 4)$, czyli zbiór wartości to $ZW = <4, +\infty)$

Postać iloczynowa

Postać iloczynowa wzoru funkcji kwadratowej to

Dla $\Delta>0$:
$$\Large{f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)}$$
Dla $\Delta=0$:
$$\Large{f(x) = a(x-x_0)^2}$$
Dla $\Delta<0$:
$$\Large{nie \; istnieje}$$

Z tej postaci funkcji od razu można odczytać współczynnik $a$ oraz jej miejsca zerowe: $x_1, x_2$, gdy $\Delta>0$ i $x_0$, gdy $\Delta=0$.

Przykład:

  • $f(x) = (x-6)(x+3)$ $a=1$, $x_1 = 6$, $x_2 = -3$
  • $f(x) = -2(x+8)(x-2)$ $a=-2$, $x_1 = -2$, $x_2 = 2$
Uwaga: Wszystkie postaci wzoru funkcji kwadratowej są równoważne, czyli znając jedną z nich można swobodnie znajdować pozostałe dwie. Jedynym wyjątkiem jest przejście do postaci iloczynowej, gdyż dla $\Delta<0$ ona nie istnieje.

Przykład: Zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej i kanonicznej

a) $f(x) = x^2 – 4x +3$

b) $f(x) = -2x^2 + 4x -3$

a) Krok 1: Odczytujemy współczynnik $a = 1$.

Krok 2: ogólna → kanoniczną

Obliczamy deltę i wyznaczamy współrzędne wierzchołka funkcji.

Współczynniki to: $a=-1$,$b=-4$, $c=3$.

$\Delta = b^2 – 4ac$

$\Delta = (-4)^2 -4 \cdot 1 \cdot 3$

$\Delta = 16-12$

$\Delta = 4$

$W=(p, q) $$= (-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$

$p = -\frac{b}{2a} $$= – \frac{-4}{2}$$ = 2$

$q = -\frac{\Delta}{4a}$$ = – \frac{4}{-4}$$ = 1$

Krok 3) Podstawiamy do wzoru, uważając na zmiany znaków:

$f(x) = a(x-p)^2 + q$

$f(x) = 1(x-2)^2 +1$

$f(x) = (x-2)^2 +1$

ogólna → iloczynową

Skoro $\Delta>0$ to funkcja ta ma dwa miejsca zerowe. Wyznaczamy je:

$\Delta=4$

$\sqrt{\Delta}=2$

$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_1 = \frac{-(-4)-2}{2 \cdot 1}$

$x_1 = \frac{4-2}{2}$

$x_1 = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_2 = \frac{-(-4)+2}{2 \cdot 1}$

$x_2 = \frac{4+2}{2}$

$x_2 = \frac{6}{2} = 3$

Podstawiamy do wzoru, uważając na zmiany znaków

$f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$

$f(x) = (x-1)(x-3)$

Odpowiedź: Postacie są równoważne, czyli $f(x) = x^2 -4x+3$$ = (x-2)^2 +1$$ = (x-1)(x-3)$.

b) ogólna → kanoniczna

Odczytujemy współczynnik $a = -2$.

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka funkcji i obliczamy deltę. Współczynniki to : $a = -2$, $b=4$, $c=-3$.

$\Delta = b^2 – 4ac$

$\Delta = 4^2 -4 \cdot (-2) \cdot (-3)$

$\Delta = 16-24$

$\Delta = -8$

$W=(p, q) $$= (-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$

$p = -\frac{b}{2a} $$= – \frac{4}{2 \cdot (-2)}$$ = 1$

$q = -\frac{\Delta}{4a}$$ = – \frac{-8}{4 \cdot (-2)}$$ = -4$

Podstawiamy do wzoru, uważając na zmianę znaku.

$f(x) = a(x-\color{deepgreen}{p})^2 +\color{deepgreen}{q}$

$f(x) = -2(x-\color{deepgreen}{1})^2 +(\color{deepgreen}{-4})$

$f(x) = -2(x-1)^2 -4$

ogólna → iloczynowa

Ponieważ $\Delta = -8 <0$, zatem postać iloczynowa funkcji kwadratowej nie istnieje.

Odpowiedź: Postacie są równoważne, czyli $f(x) = -2x^2 + 4x -3$$ =f(x) = -2(x-1)^2 -4$.

Przykład: Do wykresu funkcji kwadratowej $f(x) = x^2 + bx +c$ należą punkty $A$ i $B$. Zapisz wzór funkcji $f$ w postaciach kanonicznej i iloczynowej, gdy $A(-1,0)$, $B(5,0)$.

Można zauważyć, że punkty $A$ i $B$ są miejscami zerowymi funkcji, a $a = 1$, więc postać iloczynowa to:

$f(x) = a(x-{\color{red}x_1})(x-{\color{red}x_2})$

$f(x) = (x-{\color{red}(-1)})(x-{\color{red}5})$

$f(x) = (x+1)(x-5)$

Stąd przechodzimy do postaci ogólnej funkcji wymnażając składniki w nawiasach

$f(x) = x^2 -5x +x -5$

$f(x) = x^2 -4x -5$

Współczynniki to: $a = 1$, $b=-4$, $c=-5$.

Obliczamy deltę i współrzędne wierzchołka.

$\Delta = b^2 – 4ac$

$\Delta = (-4)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-5)$

$\Delta = 16+20$

$\Delta = 36$

$W=(p, q) $$= (-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$

$p = -\frac{b}{2a} $$= – \frac{-4}{2 \cdot 1}$$ = 2$

$q = -\frac{\Delta}{4a}$$ = – \frac{36}{4 \cdot 1}$$ = -9$

Wstawiamy do wzoru:

$f(x) = a(x-\color{darkgreen}{p})^2 +\color{darkgreen}{q}$

$f(x) = (x-\color{darkgreen}{2})^2 +(\color{darkgreen}{-9})$

$f(x) = (x-2)^2 -9$

Przykład: Wyznacz współczynnik $a$ we wzorze funkcji kwadratowej $f(x) = a(x+1)^2 -4$

a) jeśli wykres funkcji przechodzi przez punkt $P(2,14)$,

b) jeśli jednym z miejsc zerowych funkcji jest $1$.

a) Wykres funkcji przechodzi przez punkt $P(2,14)$, czyli $f(2) = 14$ (dla $x=2$ wartość funkcji to  $14$).

$f(2) = 14$

$a(2+1)^2 -4 = 14$

$a \cdot 3^2 -4 = 14$

$a \cdot 9 = 18$ $\qquad | :9$

$a = 2$

b) Miejsce zerowe to taki $x$, dla którego wartość funkcji jest równa zero, zatem:

$f(1) = 0$

$a(1+1)^2 -4 = 0$

$a \cdot 2^2 -4 = 0$

$a \cdot 2^2 = 4$ $\qquad |:4$

$a = 1$

Przykład: Funkcja kwadratowa określona jest wzorem $f(x) = x^2 + x +c$. Znajdź wartość $f(1)$, jeżeli $f(3) = 4$.

Wyznaczamy wartość współczynnika $c$:

$f(3) = 4$

$3^2 + 3+c = 4$

$9 +3 +c = 4$

$12 +c = 4$

$c= -8$

Funkcja jest postaci $f(x) = x^2 + x -8$. Obliczamy jej wartość dla $x=1$.

$f(1) = 1^2 +1 -8$$ = -6$

Odpowiedź: Szukana wartość wynosi $f(1)=-6$.

0