Mało kto wie, że wzory skróconego mnożenia można zapisać graficznie np. tak jak na rysunku
Jak widać na rysunku pole powierzchni kwadratu o boku równym sumie dwóch liczb a i b jest równe sumie pól powstałych z podziału tego kwadratu. Tak więc możliwe jest zapisanie następującego wzoru skróconego mnożenia:
$$(a+b)^2=a^2+2\cdot a \cdot b+b^2$$
Kwadrat sumy
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Przykład
$(x+4)^2=x^2+2\cdot x \cdot 4+4^2=$$x^2+8x+16$
$(x+4)^2=x^2+2\cdot x \cdot 4+4^2=$$x^2+8x+16$
Nie popełnij tego błędu
$$(a+b)^2\ne a^2+b^2$$
Dobrze ten błąd obrazuje przykład:
$$(2+3)^2 \ne 2^2+3^2$$ $$5^2 \ne 4+9$$ $$25 \ne 11 $$
$$(a+b)^2\ne a^2+b^2$$
Dobrze ten błąd obrazuje przykład:
$$(2+3)^2 \ne 2^2+3^2$$ $$5^2 \ne 4+9$$ $$25 \ne 11 $$
Kwadrat różnicy
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Przykład
$(2x-5)^2=(2x)^2-2\cdot 2x \cdot 5+$$5^2=4x^2-20x+25$
$(2x-5)^2=(2x)^2-2\cdot 2x \cdot 5+$$5^2=4x^2-20x+25$
Różnica kwadratów
$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$
$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$
Przykład
Pokazujemy w jaki sposób dochodzimy do wzoru powyżej
$(4+x)(4-x)=16-4x+4x$$-x^2=16-x^2=4^2-x^2$
Pokazujemy w jaki sposób dochodzimy do wzoru powyżej
$(4+x)(4-x)=16-4x+4x$$-x^2=16-x^2=4^2-x^2$
Sześcian sumy
$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$
$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$
Przykład
$(x+3)^3=x^3+3\cdot x^2 \cdot 3+3 \cdot x $$ \cdot 3^2+3^3=x^3+9x^2+27x+27$
$(x+3)^3=x^3+3\cdot x^2 \cdot 3+3 \cdot x $$ \cdot 3^2+3^3=x^3+9x^2+27x+27$
Sześcian różnicy
$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$
$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$
Przykład
$(2x-2)^3=(2x)^3-3\cdot (2x)^2 $$ \cdot 2+3 \cdot 2x \cdot 2^2-2^3=8x^3- $$ 24x^2+24x-8$
$(2x-2)^3=(2x)^3-3\cdot (2x)^2 $$ \cdot 2+3 \cdot 2x \cdot 2^2-2^3=8x^3- $$ 24x^2+24x-8$
Suma sześcianów
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
Przykład
$x^3+27=x^3+3^3=(x+3)(x^2 $$ -3x+9)$
$x^3+27=x^3+3^3=(x+3)(x^2 $$ -3x+9)$
Różnica sześcianów
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$
Przykład
$x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2 $$ +2x+4)$
$x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2 $$ +2x+4)$
Przykład
Wartość wyrażenia $(b-a)^2$ dla $a=2 \sqrt 3$ i $b=\sqrt {75}$ jest równa?
Wartość wyrażenia $(b-a)^2$ dla $a=2 \sqrt 3$ i $b=\sqrt {75}$ jest równa?
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy $(b-a)^2=b^2-2ba+a^2$
$(\sqrt {75}-2 \sqrt 3)^2=(\sqrt {75})^2-2 \cdot $$ \sqrt {75} \cdot 2\sqrt 3+(2\sqrt3)^2=75- $$ 2\cdot2 \sqrt{75 \cdot 3}+12=75$
$-4\sqrt {225}+12=75-4\cdot$ $15+12=75-60+12=27$
Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy $(b-a)^2=b^2-2ba+a^2$
$(\sqrt {75}-2 \sqrt 3)^2=(\sqrt {75})^2-2 \cdot $$ \sqrt {75} \cdot 2\sqrt 3+(2\sqrt3)^2=75- $$ 2\cdot2 \sqrt{75 \cdot 3}+12=75$
$-4\sqrt {225}+12=75-4\cdot$ $15+12=75-60+12=27$
Przykład
Różnica $50001^2-49999^2$ jest równa?
Różnica $50001^2-49999^2$ jest równa?
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na różnice kwadratów $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$50001^2-49999^2=(50001+ $$ 49999)(50001-49999)= $$ 100000\cdot 2=200000$
Korzystamy ze wzoru na różnice kwadratów $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$50001^2-49999^2=(50001+ $$ 49999)(50001-49999)= $$ 100000\cdot 2=200000$
8+
