Trójkąty przystające i podobne- LICEUM ✎ Cyrkiel.info

Trójkąty przystające mają taki sam kształt i rozmiar, a trójkąty podobne mogą różnić się wielkością. Poznaj cechy pozwalające je rozpoznawać oraz sprawdź, jak skala podobieństwa wpływa na pola figur.

Trójkąty przystające

Trójkąty są przystające, jeżeli mają takie same długości boków i takie same miary kątów - mają identyczny kształt i rozmiar.

Jak rozpoznać, czy dwa trójkąty są przystające?

$(1)$ cecha $\color{blue}{bbb}$ bok-bok-bok

trzy boki jednego trójkąta są równe trzem bokom drugiego trójkąta

$|AB|=|DE|$ , $|AC|=|DF|$ , $|BC|=|EF|$

$(2)$ cecha $\color{blue}{bkb}$ bok-kąt-bok

dwa boki i kąt zawarty między nimi zawarty w jednym trójkącie są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi w drugim trójkącie

$|AB|=|DE|$ , $|AC|=|DF|$ , $∡ BAC=∡ EDF$

$(3)$ cecha $\color{blue}{kbk}$ kąt-bok-kąt

bok i dwa leżące przy nim kąty w jednym trójkącie są równe bokowi i dwóm leżącym przy nim kątom
w drugim trójkącie

$|AB|=|DE|$ , $|∡BAC|=|∡EDF|$ , $|∡ABC|=|∡DEF|$

Przykład: Ile wynosi miara kąta $\alpha$ poniższej figury?

Trójkąty $△ABC$ i $△BCD$ mają trzy boki równej długości. Mają wspólny bok $BC$ , $|AB|=|CD|$ oraz $|AC|=|BD|$ . Zatem są one przystające.

Zauważmy, że miarę kąta $\alpha$ możemy odczytać korzystając z cechy $bkb$ . Mamy, że $|AC|=|BD|$ oraz $|AB|=|BD|$ zatem $|∡BAC|=|∡BDC|$ . Wynika z tego, że $\alpha=112°$ .

Odpowiedź: Szukany kąt ma miarę $112°$ .

Przykład: Ile wynosi miara kąta $\beta$ poniższej figury?

Trójkąty

△ABC

△BCD

mają wspólny bok

BC

, oraz

|AB|=|CD|

|AC|=|BD|

.
Są one przystające. Zauważmy, że z cechy

bkb

mamy, że

|∡BAC|=|∡BDC|

Obliczmy miarę kąta

|∡BAC|

korzystając z rysunku.

Wiemy, że suma miar kątów w trójkącie wynosi $180°$ , zatem

$|∡BAC|+|∡ABC|+|∡BCA|=180°$

$|∡BAC|+48°+69°=180°$

$|∡BAC|=63° \Rightarrow |∡BDC|=\beta=63°$

Odpowiedź: Miara kąta

\beta

wynosi

63°

Trójkąty podobne

Trójkąty są podobne, jeżeli jeden jest “zmniejszeniem” lub “zwiększeniem” drugiego w pewnej skali.

Jak rozpoznać, czy dwa trójkąty są podobne?

$(1)$ cecha $\color{blue}{bbb}$ bok-bok-bok

trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta

$\frac{AB}{CD}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$

$(2)$ cecha $\color{blue}{bkb}$ bok-kąt-bok

dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta oraz kąty zawarte między tymi bokami są równe

np. $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$ , $|∡BAC|=|∡EDF|$

$(3)$ cecha $\color{blue}{kkk}$ kąt-kąt-kąt

kąty jednego trójkąta są równe kątom drugiego trójkąta

$|∡BAC|=|∡EDF|$ , $|∡ABC|=|∡DEF|$ , $|∡ACD|=|∡DFE|$

Uwaga: Gdy skala jest równa 1, trójkąty podobne są jednocześnie przystające.

Przykład: Sprawdź, czy poniższe trójkąty są podobne.

Skorzystamy z cechy podobieństwa bok-bok-bok. Porównajmy do siebie dwa kolejne boki: najdłuższe, najkrótsze, pozostałe.

Najdłuższe: $\frac{12}{20}=\frac35$

Najkrótsze: $\frac6{10}=\frac35$

Pozostałe: $\frac9{15}=\frac35$

Odpowiedź: Z proporcjonalności boków trójkąty są podobne na mocy cechy

bbb

Przykład 2.2 Wyznacz długość odcinka $CE$ wiedząc, że $BD||CE$ .

Proste

BD

CE

są do siebie równoległe, dlatego

|∡ABD|=|∡ACE|

|∡ADB|=|∡AEC|

oraz

|∡BAD|=|∡CAE|

. Możemy zauważyć, że

△ABD \approx △ACE

(czyli

△ABD

jest podobny do

△ACE

) na mocy cechy

kkk

Z podobieństwa mamy, że:

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$

$\frac39=\frac4{CE}$

Z metody “na krzyż”:

$3|CE|=4\cdot 9$

$3|CE|=36|:3$

$|CE|=12$

Odpowiedź: Długość odcinka

CE

wynosi 12.

Przykład: Dwa zewnętrznie styczne okręgi są styczne do ramion pewnego kąta. Odległości ich środków od wierzchołka kąta wynoszą 15 i 20. Oblicz długości promieni tych okręgów $R$ i $r$ .

R+r=20-15=5

Trójkąty $△APS$ i $△BQS$ są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt, stąd:
$\frac Rr=$ $\frac{R+r+15}15$ $\Leftrightarrow \frac Rr=\frac{20}{15}$ $\Leftrightarrow \frac Rr=\frac43$ $\Leftrightarrow R=\frac43r$

Wiemy, że

R+r=5

R+r=5

\Leftrightarrow

(

wstawiamy

R=\frac43

)

\Leftrightarrow\frac43r+r=5

\Leftrightarrow \frac73r=5

r=\frac{15}7

Stąd

R=\frac43r=

\frac43\cdot \frac{15}7=

\frac{20}7

Odpowiedź: Mamy, że

R=\frac{20}7

r=\frac{15}7

Podobieństwo a pole

Jeżeli $△ABC \approx △DEF$ na mocy cechy bok-bok-bok , to $\frac{AB}{CD}$ $=\frac{AC}{DF}$ $=\frac{BC}{EF}$ $=m$ , gdzie $\color{red}{m}$ jest skalą podobieństwa trójkąta $△ABC$ do $△DEF$ to:

$\frac{P_{△ABC}}{P_{△DEF}}= \color{red}{m^2}$

Stosunek pola trójkąta $△ABC$ do pola trójkąta $△DEF$ jest równy $\color{red}{skali\>podobieństwa\>m}$ podniesionej do kwadratu.

Uwaga: Ten wzór musisz zapamiętać! Nie znajdziesz go w karcie wzorów.

Przykład: Niech $△ABC$ będzie podobny do trójkąta $△DEF$ oraz $P_{△ABC}=28cm^2<P_{△DEF}$ . Oblicz pole trójkąta $△DEF$ wiedząc, że stosunek długości boków mniejszego trójkąta do długości boków większego trójkąta wynosi $2/3$ .

Z treści zadania wiemy, że skala podobieństwa

△ABC

△DEF

wynosi

m=\frac23

.
Korzystając z tego, że

P_{△ABC}=28[j]^2

obliczymy

P_{△DEF}

Z twierdzenia dotyczącego związku podobieństwa trójkątów do pola mamy, że

$\frac{P_{△ABC}}{P_{△DEF}}=$ $m^2=(\frac23)^2=$ $\frac49$

$\frac{28cm^2}{P_{△DEF}}=\frac49$

Z metody “na krzyż” mamy, że

$9\cdot 28 cm^2=4\cdot P_{△DEF}$

$252cm^2=4\cdot P_{△DEF}|:4$

$P_{△DEF}=63cm^2$

Odpowiedź: Z podobieństwa trójkątów wiemy, że

P_{△DEF}=63cm^2

Trójkąty przystające i podobne