Prosta przechodząca przez dwa punkty LICEUM ✎ Cyrkiel.info

Wyznaczanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Pokażemy jak wyznaczyć prostą przechodzącą przez dwa punkty.
Wyobraź sobie układ współrzędnych, umieść na nim dwa dowolne punkty (gdziekolwiek 🙂 ). Spróbuj je ze sobą połączyć, a teraz po prostu przedłuż ten odcinek. Gotowe!

Rozwiązując zadania przyjmujemy z góry, że $A=(x_a,y_a)$ i $B=(x_b,y_b)$ . Nie ma znaczenia który z punktów będzie brany pod uwagę jako pierwszy.
Gdy znamy już punkty $A$ i $B$ , to możemy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.

Istnieją na to dwa sposoby - wybierz ten prostszy dla siebie.

Sposób 1

Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty $A=(x_a,y_a)$ , $B=(x_b,y_b)$ :

\Large{(y-y_a)(x_b-x_a)-(y_b-y_a)(x-x_a)=0}

Uwaga: Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne - CKE strona 5.

Przykład: Wykres funkcji

f

przechodzi przez dwa punkty

A=(2,5)

B=(4,7)

. Znajdź wzór funkcji

f

Znamy ogólny wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty $A$ i $B$ .

Wiemy, że $A=(2,5)$ i $B=(4,7)$ , a nasze rozwiązanie będzie miało postać ${\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}y}=a{\color[rgb]{1.0, 0.22, 0.0}x}+b$ , gdzie $a$ i $b$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Czego potrzebujemy do uzupełnienia wzoru

({\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}y}-y_a)(x_b-x_a)-(y_b-y_a)({\color[rgb]{1.0, 0.22, 0.0}x}-x_a)=0

${\color[rgb]{1.0, 0.22, 0.0}x}$ oraz ${\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}y}$ są zmiennymi, co oznacza że na stałe znajdują się w naszym zbiorze - nie podstawiamy za nie żadnej liczby. Musimy więc znaleźć $x_a$ , $y_a$ , $x_b$ , $y_b.$

Wiemy, że w ogólności $A=({\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}x}_a},{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}y}_a})$ i $B=({\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}x}_b},{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}y}_b})$ .

Mamy, że $A=({\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}2},{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}5})$ i $B=({\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}4},{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}7})$ , więc ${\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}x}_a}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}=}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}2}$ , ${\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}y}_a}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}=}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}5}$ , ${\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}x}_b}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}=}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}4}$ , ${\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}y}_b}{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}=}{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}7}$ .

Podstawiamy do następującego wzoru i gotowe 🙂

({\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}y}-y_a)(x_b-x_a)-(y_b-y_a)({\color[rgb]{1.0, 0.22, 0.0}x}-x_a)=0

$({\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}y}-5)(4-2)-(7-5)({\color[rgb]{1.0, 0.22, 0.0}x}-2)=0$	Wykonujemy działania w nawiasach
$(y-5)2-2(x-2)=0$
$2y-10-2x+4=0$
$2y-2x-6=0$	Po lewej stronie zostaje sam $y$
$y=2x+6$	\|: $2$
$y=x+3$	- postać kierunkowa

Odpowiedź: Równianie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty ma postać $y=x+3$ .

Jak sprawdzić poprawność swojej odpowiedzi?
Skoro przez oba punkty przechodzi jedna prosta to

A=(2,5)

B=(4,7)

spełniają równanie

y=x+3

. Co to oznacza?

$y_a=x_a+3$ i jednocześnie $y_b=x_b+3$

Jeżeli po podstawieniu $A=(2,5)$ i $B=(4,7)$ obie strony równań będą identyczne (L=P), to masz pewność że poprawnie wyznaczyłeś zadane równanie.

$y_a=x_a+3$	$y_b=x_b+3$
Podstawiamy
$5=2+3$	$7=4+3$
$5=5$	$7=7$
L=P	L=P

L=P w obu przypadkach, więc nasze rozwiązanie jest prawidłowe 🙂

Przykład: Wykres funkcji

f

przechodzi przez punkt

A=(2,6)

f(-1)=3

. Znajdź wzór funkcji

f

Wiemy, że

f({\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}-}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}1})={\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}3}

, czyli

B=({\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}-1},{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}3})

. Mamy już wszystkie potrzebne informacje:

A=({\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}2},{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}6})

B=({\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}-1},{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}3})

, więc

{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}x}_a}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}=}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}2}

{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}y}_a}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}=}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}6}

{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}x}_b}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}=}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}-1}

{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}y}_b}{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}=}{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}3}

$({\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}y}-y_a)(x_b-x_a)-(y_b-y_a)({\color[rgb]{1.0, 0.22, 0.0}x}-x_a)=0$
$({\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}y}-6)(-1-2)-(3-6)({\color[rgb]{1.0, 0.22, 0.0}x}-2)=0$	Wykonujemy działania w nawiasach
$(y-6)(-3)-(-3)(x-2)=0$	\| $-(-3)$ = $+3$
$(y-6)(-3)+3(x-2)=0$
$-3y+18+3x-6=0$
$-3y+3x+12=0$	Po lewej stronie zostaje sam $y$
$-3y=3x+12$	\|: $3$
$y=x+4$	- postać kierunkowa

Odpowiedź: Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty ma postać $y=x+4$ .

Sposób 2

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

A=({\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}x}_a},{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}y}_a})

B=({\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}x}_b},{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}y}_b})

można wyznaczyć za pomocą danego układu równań:

\Large{\left\{\begin{array}{l}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}y}_a}=a{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}x}_a}+b\\{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}y}_b}=a{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}x}_b}+b\end{array}\right.}

Przykład: Wykres funkcji

f

przechodzi przez dwa punkty

A=(2,5)

B=(4,7)

. Znajdź wzór funkcji

f

Znamy ogólny wzór funkcji liniowej

{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}y}=a{\color[rgb]{1.0, 0.22, 0.0}x}+b

, gdzie

a

b

są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
Z treści zadania wiemy, że

A=({\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}2},{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}5})

B=({\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}4},{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}7})

, więc

{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}x}_a}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}=}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}2}

{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}y}_a}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}=}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}5}

{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}x}_b}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}=}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}4}

{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}y}_b}{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}=}{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}7}

Podstawiamy odpowiednio do wzoru:

\left\{\begin{array}{l}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}y}_a}=a{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}x}_a}+b\\{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}y}_b}=a{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}x}_b}+b\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{l}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.5}5}={\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.5}2}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}a}+b\\{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}7}={\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}4}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}a}+b\end{array}\right.

Od drugiego równania odejmujemy pierwsze:

7-5=4\cdot{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}a}-2\cdot{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}a}+{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.0}b}-{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.0}b}

2=2\cdot{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}a}

Zamieniamy miejscami i dzielimy przez 2

{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}a}=1

Podstawiamy ${\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}a}=1$ do dowolnego z równań aby wyznaczyć ${\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.0}b}$ .
Oba sposoby znalezienia ${\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.0}b}$ są poprawne, wybierz łatwiejszy 🙂

$5={\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}a}\cdot2+{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.0}b}$	$7={\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}a}\cdot4+{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.0}b}$
$5=2+{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.0}b}$	$7=4+{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.0}b}$
${\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.0}b}=3$	${\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.0}b}=3$

Mamy więc, że ${\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}a}=1$ oraz ${\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.0}b}=3$ . Podstawiamy do ogólnego wzoru

y={\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}a}\cdot x+{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.0}b}

y={\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}1}\cdot x+{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.0}3}

y=x+{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.0}3}

Odpowiedź: Równianie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty ma postać $y=x+3$ .

Prosta przechodząca przez dwa punkty

Wyznaczanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Sposób 1

Sposób 2

Komentarze

Dodaj komentarz Anuluj odpowiedź