Suma ciągu geometrycznego – wzór

Aby obliczyć sumę $n$ pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego korzystamy ze wzoru:

$$\Large{S_n = {\color{blue}a_1} \cdot \frac{1-{\color{#339966}q}^{\color{red}n}}{1-{\color{#339966}q}}}$$
gdzie:
$a_1$ – pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,
$q$ – iloraz ciągu geometrycznego,
$n$ – liczba wyrazów.

Przykład: Oblicz sumy pierwszych sześciu wyrazów ciągu geometrycznego o wzorze na $n$-ty wyraz $a_n = 3^n $.

Krok 1: Najpierw z podanego wzoru obliczamy $a_1$:

$a_1 = 3^1 = 3$

Krok 2: Następnie obliczmy $a_2$ – potrzebne będzie do obliczenia $q$:

$a_2 = 3^2 = 9$

Krok 3: Teraz wyliczamy $q$ ze wzoru:

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$

$q=\frac{a_{2}}{a_1} $$= \frac{9}{3} = 3$

Krok 4: Mamy już $a_1$, $q$ i $n$ (podane w treści zadania), więc możemy użyć wzoru na sumę ciągu:

$S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$$ = 3\cdot \frac{1- 3^6}{1- 3}$$ = 3 \cdot \frac{1- 729}{-2}$$= 3 \cdot \frac{-728}{-2}$$ = 3 \cdot 364$$= 1092$

Odpowiedź: Suma pierwszych sześciu wyrazów tego ciągu to $S_n = 1092$.

Uwaga: W pierwszych dwóch krokach mogliśmy wziąć dowolne dwa sąsiednie wyrazy, aby obliczyć $q$, wzięliśmy jednak dwa początkowe ze względu na łatwość obliczeń.

PrzykładL Oblicz sumę czterech pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1 = – 2$ i ilorazie $q = \sqrt2$.

W treści zadania podane są wszystkie potrzebne dane. Wstawiamy je do wzoru:

$S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$$ = – 2 \cdot \frac{1- (\sqrt2)^4}{1- (\sqrt2)}$$ = -2 \cdot \frac{1- 8}{1 – (\sqrt2)}$$= – 2 \cdot \frac{ – 7}{1 – \sqrt2}$$ =\frac{14}{ 1- (\sqrt2)}$

Aby otrzymać wynik w najprostszej postaci musimy usunąć niewymierność z mianownika:

$S_n = \frac{14}{ 1- (\sqrt2)} $$= \frac{14}{ 1- (\sqrt2)} \cdot \frac{1 + \sqrt2}{ 1+ \sqrt2}$$= \frac{14 + 14\sqrt2}{ 1- 2}$$ = – 14 +14 \sqrt2$

Odpowiedź: Suma pierwszych czterech wyrazów tego ciągu to $S_n = – 14 +14 \sqrt2$.

Przykład: Oblicz sumę pięciu pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego $\frac14, \frac12, 1,…$.

Ponieważ znamy pierwszy wyraz ciągu oraz $n = 5$ musimy obliczyć iloraz $q$. Wstawiając do wzoru otrzymujemy:

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$$ = \frac{\frac14}{\frac12}$$ = \frac12$

Obliczamy teraz sumę:

$S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$$ = \frac14 \cdot \frac{1- (\frac12)^5}{1- (\frac12)}$$ = \frac14 \cdot \frac{\frac{31}{32}}{\frac12}$$= \frac12 \cdot \frac{31}{32}$$ = \frac{31}{64}$

Odpowiedź: Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu to $S_n = \frac{31}{64}$.

Uwaga: Znając pierwszy wyraz ciągu oraz różnicę możemy wyznaczyć dowolny wyraz tego ciągu za pomocą wzoru:

$$\Large{\color{red}{a_n = a_1 \cdot q^{n – 1}}}$$

Przykład: Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy $\frac12$, a szósty jest równy $4$. Oblicz sumę pierwszych ośmiu wyrazów tego ciągu.

Zgodnie z uwagą, aby otrzymać $a_6$ z $a_3$, trzeba pomnożyć $a_3$ trzykrotnie przez iloraz:

$a_6 = a_3 \cdot q^3$

Z tego równania obliczamy $q$:

$ 4 = \frac12 \cdot q^3 \hspace{0,5cm}| \cdot 2$

$q^3 = 8$

Pierwiastkując otrzymujemy $q = 2$.

Możemy teraz obliczyć $a_1$, używając wzoru z powyższej uwagi:

$a_3 = a_1 \cdot q^{2}$

$\frac12 = a_1 \cdot 2^2$

$\frac12 = a_1 \cdot 4 | \div 4$

$a_1 = \frac18$

Wszystkie potrzebne dane używamy we wzorze na sumę ciągu:

$S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$$ =\frac18 \cdot \frac{1 – 2^8}{1 – 2} $$=\frac18 \cdot \frac {1-256}{- 1}$$ = \frac18 \cdot {255}$$ = 31 \frac78$

Odpowiedź: Suma pierwszych sześciu wyrazów tego ciągu to $S_n = 31 \frac78$.

0