Jeżeli doświadczenie możemy podzielić na dwa etapy, pierwszy z nich wykonamy na $n_1$ sposobów, a drugi na $n_2$ sposobów, to stąd całe doświadczenie możemy wykonać na
$n_1 \cdot n_2$ sposobów.
Przykład: Rzucamy dwa razy monetą . Ile jest możliwych wyników tego doświadczenia?
- w pierwszym rzucie mamy $2$ możliwości wyniku: {$Reszka, Orzeł$},
- w drugim rzucie również mamy $2$ możliwości wyniku: {$Reszka, Orzeł$}.
Z reguły mnożenia mamy $2 \cdot 2 = 4$ możliwości, co łatwo zobaczyć: {$R, R$}, {$O, R$}, {$R, O$}, {$O, O$}.
Analogicznie jest dla większej ilości etapów i sposobów wykonania np. jeśli $n_1, n_2, n_3, n_4,n _5$ to kolejne wyniki $5$ – etapowego doświadczenia, to całą czynność wykonamy na $n_1 \cdot n_2\cdot n_3\cdot n_4\cdot n _5$
Przykład: Zbiór zasobów bibliotecznych uporządkowano przypisując każdej książce symbol postaci AALLLLA, gdzie A oznacza literę z $24$ – znakowego alfabetu, a L – dowolną cyfrę (np. PW0035M). Ile różnych takich symboli można utworzyć?
VII znak symbolu: analogicznie do I i II.
$$\underbrace{\color{darkgreen}24}_{\color{darkgreen}I} \; \underbrace{\color{darkgreen}24}_{\color{darkgreen}II}\; \underbrace{\color{red}10}_{\color{red}III} \; \underbrace{\color{red}10}_{\color{red}IV} \; \underbrace{\color{red}10}_{\color{red}V} \; \underbrace{\color{red}10}_{\color{red}VI} \; \underbrace{\color{darkgreen}24}_{\color{darkgreen}VII}$$
Liczba sposobów, na które można wybrać symbol wynosi:
${\color{darkgreen}24} \cdot {\color{darkgreen}24} \cdot {\color{red}10} \cdot {\color{red}10} \cdot {\color{red}10} \cdot {\color{red}10} \cdot {\color{darkgreen}24}$$ = 24^3 \cdot 10^4$$ = 138240000$
Odpowiedź: Można utworzyć $138240000$ takich symboli.
Przykład: Rzucamy $5$ razy monetą . Ile jest możliwych wyników tego doświadczenia?
W jednym rzucie mamy dwie możliwości wyniku : {$Reszka, Orzeł$}.
Tak samo w pozostałych czterech etapach.
$$\underbrace{2}_{I \; rzut} \qquad \underbrace{2}_{II \,rzut} \qquad \underbrace{2}_{III \, rzut} \qquad \underbrace{2}_{IV \, rzut} \qquad \underbrace{2}_{V \, rzut}$$
Stosując regułę mnożenia otrzymujemy $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 = 32$ różnych możliwych wyników tego doświadczenia.
Przykład: Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od $5$?
- dla liczby dziesiątek mamy $4$ możliwości (odrzucamy $0$, nasza liczba nie może zaczynać się od zera),
- dla liczby jedności mamy wszystkie $5$ możliwości.
Z reguły mnożenia mamy $4 \cdot 5 = 20$ różnych liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od $5$.
Przykład: Hasło do poczty składa się z $4$ cyfr i $3$ liter tylko samogłosek, ile różnych haseł możemy ułożyć, jeżeli:
a) litery są na $3$, $4$ i $7$ miejscu,
b) hasło zaczyna się i kończy literą,
mając do dyspozycji $6$ samogłosek i $10$ cyfr, cyfry i litery mogą się powtarzać.
a) Na pierwszym, drugim, piątym i szóstym miejscu, stoją cyfry, czyli możemy je wybrać na 10 różnych sposobów, zatem mamy: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4$.
Na trzecim, czwartym i siódmym miejscu stoją litery, czyli możemy je wybrać na 6 różnych sposobów, zatem mamy $6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3$.
Otrzymaliśmy: $10^4 \cdot 6^3 = 10216$
Odpowiedź: Możemy ułożyć 10216 różnych haseł.
b) Na pierwszym i siódmym miejscu ma stać cyfra czyli, możemy wybrać je na $10$ różnych sposobów, zatem mamy: $6 \cdot 6 = 36$.
A na pozostały miejscach może stać albo cyfra albo litery, zatem możemy wybrać je na $16$ sposobów, czyli $16 \cdot 16 \cdot· 16 \cdot 16 \cdot 16 = 16^5$.
Zatem otrzymaliśmy: $36 \cdot 16^5$.
Odpowiedź: Możemy ułożyć $36 \cdot 16^5$ haseł.
Przykład: W dwóch księgarniach można kupić $3$ gatunki książek: kryminał, horror i romans. W pierwszej księgarni mamy: $10$ kryminałów, $7$ horrorów i $6$ romansów; w drugiej: $8$ kryminałów, $13$ horrorów i $44$ romanse. W której księgarni mamy większy wybór zestawu $3$ książek składający się z kryminału, romansu i horroru?
Każdą książkę z zestawu możemy wybrać na tyle sposobów ile jest książek, zatem w pierwszej księgarni zestaw możemy wybrać na $10 \cdot 7 \cdot 6 = 420$ sposobów,
a w drugiej na $8 \cdot 13 \cdot 4 = 416$ sposobów.
Odpowiedź: Większy wybór zestawu mamy w pierwszej księgarni.
