Liczba sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ $(1\leq k\leq n)$ różnych wyrazów jest równa

$$\Large{n\cdot (n-1)\cdot …\cdot (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}}$$

Jest to wzór na wariacje bez powtórzeń.

Uwaga: W zadaniach z wariacji bez powtórzeń:

1) istotna jest kolejność elementów tej wariacji,

2) wybieramy $k$ razy bez zwracania po jednym elemencie z $n$ – elementowego zbioru – elementy nie mogą się powtarzać,

3) nie wszystkie elementy ze zbioru są wykorzystywane (gdyby były to mówimy o permutacjach).

Przykład: Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie występują tylko cyfry $1, 3, 5, 7, 8$ oraz żadna cyfra się nie powtarza?

Zbiór, z którego wybieramy elementy składa się z $n = 5$ cyfr. Układamy liczbę trzycyfrową co oznacza, że będziemy $k = 3$ razy wybierać cyfry.

Podstawiając do wzoru mamy $\frac{5!}{(5 – 3)!}$ możliwości, obliczamy silnię:

$\frac{n!}{(n – k)!}$$ = \frac{5!}{(5 – 3)!}$$ = \frac{5!}{2!}$$ = \frac{5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!}$$ = 5 \cdot 4 \cdot 3$$ = 60$

Odpowiedź: Istnieje $60$ takich liczb.

Przykład: Na ile sposobów możemy ustawić $4$ – osobową kolejkę wybierając ludzi z $13$ – osobowej grupy?

Musimy wybrać $k = 4$ osoby z całej grupy liczącej $n = 13$ osób.

Korzystamy ze wzoru na wariacje bez powtórzeń (bo jedna osoba nie może stać w kilku miejscach kolejki).

$\frac{n!}{(n – k)!}$$ = \frac{13!}{(13 – 4)!}$$ = \frac{13!}{9!}$$ = \frac{13\cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9!}$$ = 17160$

Odpowiedź: Taką kolejkę możemy ustawić na $17160$ sposobów.

Przykład: Hasło składa się z czterech różnych cyfr. Ile jest możliwych haseł?

Wszystkich cyfr, z których możemy ułożyć kod jest $n = 10$ ({$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$}).

Układamy $k = 4$ – cyfrowe hasło.

Ponieważ hasło składa się z różnych cyfr, to ze wzoru wariacje bez powtórzeń:

$\frac{n!}{(n – k)!}$$ = \frac{10!}{(10 – 4)!}$$ = \frac{10!}{6!}$$ = \frac{10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!}$$ = {10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}$$ = 5040$

Odpowiedź: Jest $5040$ możliwych czterocyfrowych haseł.

Przykład: Ile jest liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach?

Słowo ‘różne’ sugeruje wariacje bez powtórzeń.

Krok 1: Wszystkich możliwych cyfr mamy $10$. Na pierwszym miejscu wybieramy jedną cyfrę z $9$ możliwych (nie możemy wybrać zera), czyli mamy $9$ możliwości.

Krok 2: Na pozostałe $3$ miejsca wybieramy dowolne, różne cyfry łącznie z zerem, ale jedna z nich jest już użyta na pierwszym miejscu. Mamy wariację bez powtórzeń:

z $n = 9$ elementowego zbioru wybieramy $k = 3$ elementy.

$\frac{n!}{(n – k)!}$$ = \frac{9!}{(9 – 3)!}$

Krok 3: Wszystkie możliwości otrzymujemy z reguły mnożenia:

$9 \cdot \frac{9!}{(9 – 3)!}$$ = 9 \cdot \frac{9!}{6!}$$ = 9 \cdot \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!}$$ = 9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$$ = 4536$

Odpowiedź: Znajdziemy $4536$ liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach.

0