Wariacje bez powtórzeń

Zbiór, z którego wybieramy elementy składa się z $n=5$ cyfr. Układamy liczbę trzycyfrową co oznacza, że będziemy $k=3$ razy wybierać cyfry.

Podstawiając do wzoru mamy $\frac{5!}{(5-3)!}$ możliwości, obliczamy silnię:

$\frac{n!}{(n-k)!}$$=\frac{5!}{(5-3)!}$$=\frac{5!}{2!}$$=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2!}{2!}$$=5\cdot 4\cdot 3$$=60$

Odpowiedź: Istnieje $60$ takich liczb.

Musimy wybrać $k=4$ osoby z całej grupy liczącej $n=13$ osób.

Korzystamy ze wzoru na wariacje bez powtórzeń (bo jedna osoba nie może stać w kilku miejscach kolejki).

$\frac{n!}{(n-k)!}$$=\frac{13!}{(13-4)!}$$=\frac{13!}{9!}$$=\frac{13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9!}{9!}$$=17160$

Odpowiedź: Taką kolejkę możemy ustawić na $17160$ sposobów.

Wszystkich cyfr, z których możemy ułożyć kod jest $n=10$ ({$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$}).

Układamy $k=4$ - cyfrowe hasło.

Ponieważ hasło składa się z różnych cyfr, to ze wzoru wariacje bez powtórzeń:

$\frac{n!}{(n-k)!}$$=\frac{10!}{(10-4)!}$$=\frac{10!}{6!}$$=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{6!}$$=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7$$=5040$

Odpowiedź: Jest $5040$ możliwych czterocyfrowych haseł.

Słowo ‘różne’ sugeruje wariacje bez powtórzeń.

Krok 1: Wszystkich możliwych cyfr mamy $10$. Na pierwszym miejscu wybieramy jedną cyfrę z $9$ możliwych (nie możemy wybrać zera), czyli mamy $9$ możliwości.

Krok 2: Na pozostałe $3$ miejsca wybieramy dowolne, różne cyfry łącznie z zerem, ale jedna z nich jest już użyta na pierwszym miejscu. Mamy wariację bez powtórzeń:

z $n=9$ elementowego zbioru wybieramy $k=3$ elementy.

$\frac{n!}{(n-k)!}$$=\frac{9!}{(9-3)!}$

Krok 3: Wszystkie możliwości otrzymujemy z reguły mnożenia:

$9\cdot \frac{9!}{(9-3)!}$$=9\cdot \frac{9!}{6!}$$=9\cdot \frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{6!}$$=9\cdot 9\cdot 8\cdot 7$$=4536$

Odpowiedź: Znajdziemy $4536$ liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach.