Blog

test akordeonu

0 komentarzy

  • Rozkład Bernoulliego – wzory


  • Dominanta – teoria


  • Rozkład Bernoulliego – wzory


  • Dominanta – teoria


  • podaje tytul

Kurs – Rozkład Bernoulliego i Poissona

0 komentarzy

Rozkład Bernoulliego

  • Rozkład Bernoulliego – wzory

  • Dominanta – teoria

  •  Lekcja 0: Rozkład Bernoulliego 21:08

  • Przykład: Badania wykazały, że 20% Polaków nie posiada karty kredytowej. Z jakim prawdopodobieństwem w grupie 5 Polaków, 2 osoby nie będa posiadać karty kredytowej?

  • Przykład: Pewna parabola jest opisana równaniem $y=2x^2+bx+8$ , gdzie b jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wyznacz wszystkie wartości parametru b, dla których wierzchołek paraboli leży nad osią OX.

  • Lekcja 2: Rozkład Poissona 13:23

  • Przykład: Pewna parabola jest opisana równaniem $y=2x^2+bx+8$ , gdzie b jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wyznacz wszystkie wartości parametru b, dla których wierzchołek paraboli leży nad osią OX.

test kursu 2

0 komentarzy

Dominanta

  • Dominanta – wszystkie wzory

  • Dominanta – teoria

  •  Lekcja 0: Dominanta – wstęp 5:31

  • Przykład: Badania wykazały, że 20% Polaków nie posiada karty kredytowej. Z jakim prawdopodobieństwem w grupie 5 Polaków, 2 osoby nie będa posiadać karty kredytowej?

  • Przykład: Pewna parabola jest opisana równaniem $y=2x^2+bx+8$ , gdzie b jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wyznacz wszystkie wartości parametru b, dla których wierzchołek paraboli leży nad osią OX.

  • Lekcja 1: Dominanta w szeregu przedziałowym 31:12

  • Przykład: Pewna parabola jest opisana równaniem $y=2x^2+bx+8$ , gdzie b jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wyznacz wszystkie wartości parametru b, dla których wierzchołek paraboli leży nad osią OX.

Szereg przedziałowy

0 komentarzy
Szereg rozdzielczy przedziałowy tworzymy gdy mamy dużą liczbę (n > 30) nieuporządkowanych danych i chcemy wykonywać dalsze obliczenia

W tym artykule zajmiemy się tworzeniem szeregu rozdzielczego oraz rozróżnieniem szeregu otwartego i zamkniętego. Jeżeli chcesz się dowiedzieć jak obliczać wskaźniki z szeregu, zobacz te strony:

Szereg rozdzielczy przedziałowy, jak wyznaczyć?

  • Krok 1: Ustalenie liczby klas – czyli ile będzie wierszy w naszej tabeli. Najczęściej wyznacza się $$k=\sqrt{n}$$
    Inne źródła podają czasem inne sposoby – upewnij się jak podaje wykładowca na Twojej uczelni. Często liczbę przedziałów podaje się na tak zwany „zdrowy rozsądek”.

    U nas:

    Średnia dziennego utargu (cecha X) w tys. zł (dane umowne):
    2.0; 2.5; 2.3; 3.1; 2.1; 1.7; 1.8; 3.1; 4.6; 3.8; 3.5; 2.7; 1.6; 3.0; 3.5; 2.6; 2.7; 3.2; 2.2; 4.3; 1.9; 2.1; 2.9; 3.1; 2.1; 2.9; 2.7; 2.4; 3.0; 3.6; 3.9; 2.2; 3.1; 2.5; 3.3; 2.5; 2.2; 3.3; 2.1; 2.4; 2.8

    Mamy $n=40$ danych, więc liczba klas to $k=\sqrt{n}=\sqrt{40}=6.32 \approx 6$

    Nam wygodniej będzie wykorzystać 7 klas (7 wierszy z danymi) – inaczej nie pokrylibyśmy wszystkich danych przy rozpiętości 0.5.

  • Krok 2: Wyznaczamy długości przedziałów
    Rozstępem badanej cechy X w tej próbce nazywamy liczbę $$R=x_{max}-x_{min}$$ gdzie $x_{max}$, $x_{min}$ oznaczają odpowiednio największą i najmniejszą liczbę.

    Jeżeli $R$ jest rozstępem próbki, zaś $k$ liczbą klas, to jakoś długość klasy przyjmuje się $$b \approx \frac{R}{k}$$
    U nas:
    $$R=4.6-1.6=3$$ $$b=\frac{3}{6}=0.5$$

  • Krok 3: Wyznaczamy pierwszy przedział, kolejne przedziały i liczebności
    Lewy koniec pierwszego przedziału $a_0$ wyznaczamy następująco:
    $$a_0=x_1-\frac{c}{2}$$
    gdzie $c$ to rozpiętość a $x_1$ to najmniejsza wartość.Ponownie- często inne źródła podają inne wzory i w tym przypadku.
    Wyliczamy:
    $$a_0=x_1-\frac{c}{2}=1.6-\frac{0.5}{2}=1.35$$
    Tworzymy 7 przedziałów o wyznaczonej w kroku 2 długości 0.5:

    Przedziały dziennego utargu
    1.35-1.85
    1.85-2.35
    2.35-2.85
    2.85-3.35
    3.35-3.85
    3.85-4.35
    4.35-4.85

    Ostatni krok to uważne zliczenie wartości do odpowiednich przedziałów

    Przedział dziennego utagu Liczba sklepów
    <$x_{i0},x_{i1}$> $n_i$
    1.35-1.85 4
    1.85-2.35 9
    2.35-2.85 10
    2.85-3.35 9
    3.35-3.85 4
    9.85-4.35 3
    4.35-4.85 1

    Szereg przedziałowy zamknięty a szereg przedziałowy otwarty

    Przykład szeregu rozdzielczego zamkniętego-wszystkie przedziały mają określone wartości „od do”

    Liczba dni nieobecności Liczba pracowników
    $x_{i}$ $n_i$
    0-4 100
    5-9 150
    10-14 200
    15-19 130
    20-24 120
    $\sum$ 700

    Szereg rozdzielczy otwarty
    Czasami mamy do czynienia z szeregami statystycznymi o pierwszym lub ostatnim przedziale kasowym otwartym.
    Sytuacja taka ma miejsce, gdy np. w badanej zbiorowości statystycznej występują ekstremalne wartości badanej cechy, zarówno (zarówno bardzo duże, jak i bardzo małe).

    Przykład:

    Liczba dni nieobecności Liczba pracowników
    $x_{i}$ $n_i$
    4 i mniej 100
    5-9 150
    10-14 200
    15-19 130
    20-24 120
    $\sum$ 700
    Liczba dni nieobecności Liczba pracowników
    $x_{i}$ $n_i$
    0-4 100
    5-9 150
    10-14 200
    15-19 130
    20 i więcej 120
    $\sum$ 700
    W przypadku szeregu rozdzielczego otwartego nie liczymy wskaźników klasycznych: średniej, wariancji, klasycznego współczynnik zmienności, itp.

Rozkład normalny

0 komentarzy

Zadania które tu omówimy to jest egzaminowy klasyk – jedno z najpopularniejszych typów zadań.

Ogólny schemat:

Mamy do policzenia prawdopodobieństwo np. $P(X\ge 160)$ gdzie $X$ jest zmienna losowa o rozkładzie normalnym $N(\mu\space \sigma)$ o danych parametrach $\mu$ i $\sigma$ (średnia i odchylenie standardowe)

Aby policzyć to prawdopodobieństwo, chcemy daną zmienną sprowadzić do rozkładu normalnego standaryzowanego o wartości oczekiwanej $\mu =0$ i odchyleniu standardowym $\sigma=1$

Po co?

Będziemy mogli skorzystać z tablic rozkładu $N(0,1)$, aby odczytać końcowe wartości prawdopodobieństw.

Schemat rozwiązywania zadań z rozkładem normalnym:

  1.  Dane $\mu$ i $\sigma$
  2.  Pytanie o prawdopodobieństwo $P(x_1 < X < x_2) =$?
  3.  Standaryzacja (z dokładnością do 2 miejsc po przecinku) $\mu = \frac{x-\mu}{\sigma}$
  4.  Pytanie o prawdopodobieństwo z użyciem zmiennej standaryzowanej $P(u_1 < U < u_2)=$?
  5.  Rysunek pomocniczy.
  6.  Tablice statystyczne.
  7.  Odpowiedź.
Przykład
Wzrost kobiet w pewnej populacji ma rozkład normalny $N(165, 15)$. Oznacza to, że zmienna losowa jaką jest wzrost kobiet ma rozkład normalny ze średnią równą 165 cm odchyleniem standardowym równym 15 cm. Jaki jest udział w populacji kobiet o wzroście:

  • do 160 cm
  • w przedziale 165-170 cm
  • powyżej 175 cm
  • dokładnie 150 cm

Rozwiązanie

  • Interesuje nas obliczenie prawdopodobieństwa zaznaczonego na niebiesko:

    Robimy standaryzacje zmiennej losowej:
    $$P(X < 106)=P \Big(\frac{x-\mu}{\sigma} < \frac{160-\mu}{\sigma} \Big)=$$
    Możemy wprowadzić zmienną $U$ – zmienną losową rozkładu normalnego standaryzowanego i podstawiamy dane:
    $$=P \Big(U < \frac{160-\mu}{\sigma} \Big)=P \Big(U < \frac{160-165}{15} \Big)=P(U < -0.333)=\Phi(-0.333)$$
    Uwaga: W tablicach rozkładu normalnego najczęściej nie ma ujemnych wartości. Zatem stosujemy „przejście” w postaci: $\Phi(-\alpha)=1-\Phi(\alpha)$ bo dodatnią wartość już łatwo odnajdziemy w tablicach rozkładu normalnego.
    $$\Phi(-0.333)=1-\Phi(0.333)=1-0.6293=0.3707$$
    Odpowiedź: Szukane prawdopodobieństwo wynosi 37.07% (czyli pole zacieniowanej części wykresu wynosi 0.3707 na rysunku powyżej).
  • w przedziale 165-170 cm

    $P(165 < X \ge 170)=P \Big( \frac{165-165}{15} < \frac{X-165}{15} \ge \frac{170-165}{15} \Big)=P(0 < X \ge 0.33)=$ $\Phi(0.33)-\Phi(0)=0.6293-0.5=0.1293$

    Odpowiedź: Szukane prawdopodobieństwo wynosi 12.93%.

 

  • powyżej 175 cm

    $P(X > 175)=P \Big( \frac{X-165}{15} > \frac{175-165}{15}\Big)=P(U > 0.67)= 1-P(U \ge 0.67)=1-$ $\Phi(0.67)=1-0.748571=0.251429$

    Odpowiedź: Szukane prawdopodobieństwo wynosi 25.14%.

  • dokładnie 150 cm

    $P(X=15)=P(150 \ge X \ge 150)= F(150)-F(150)=0$
    (bo dla zmiennych losowych ciągłych, prawdopodobieństwo w punkcie jest równe 0)

    Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi 0.

Dla zmiennych losowych ciągłych (jak w przypadku rozkładu normalnego) zachodzi:
$$P(X < 165)=P(X \ge 165)$$
Przykład
Naszkicuj wykres gęstości zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym $N(2, 0.5)$. Korzystając z tablic wartości dystrybuanty $\Phi$ rozkładu normalnego $N(0,1)$ oblicz:

  • $P(X \le 1)$
  • $PX > 3)$
  • $P(X > 0)$
Rozwiązanie

  • $P(X \le 1)=P \Big(\frac{X-2}{0.5} \le \frac{1-2}{0.5} \Big)=\Phi(-2)=0.0227$
  • $PX > 3)=1-P(X \le 3)=1-\Phi \Big(\frac{3-2}{0.5} \Big)=1-\Phi(2)=\Phi(-2)=0.0227$
  • $P(X > 0)=1-P(X \le 0)=1-\Phi \Big(\frac{0-2}{0.5} \Big)=1-\Phi(-4)=\Phi(4)=0.9999$
Przykład
Tutaj mamy podane prawdopodobieństwo (które wcześniej liczyliśmy), ale nie znamy wartości więc cały proces robimy „odwrotnie”.
Wysokość drzewa w pewnym lesie ma rozkład normalny ze średnią 25 m i odchyleniem standardowym 4 m. Planuję się wyciąć 26% najwyższych drzew. Od jakiej wysokości drzewa będą wycinane?
Rozwiązanie
X- zmienna losowa o rozkładzie $N(25,4)$ oznaczająca wysokość drzewa
Szukamy takie $a$, że 26% drzew będzie większe od tej wartości

Pole zaznaczone na niebiesko odpowiada 26%
Czyli chcemy rozwiązać równanie:
$P(X > a)=0.26$, gdzie $a$ jest niewiadomą, a tym razem znamy wartość prawdopodobieństwa
$$1-P(X \ge a)=0.26$$ $$P(X \ge a)=0.74$$Standaryzujmy zmienną X:
$$P\Big(\frac{X-25}{4} \ge \frac{a-25}{4} \Big)$$
Możemy użyć funkcji dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego:
$$\Phi \Big(\frac{a-25}{4} \Big)=0.74$$
Teraz znajdujemy wartość odwrotną tej dystrybuanty- w tablicach szukamy takiego argumentu, dla którego funkcja daje 0.74
$$\frac{a-25}{4}=\Phi^{-1}(0.74)=0.643$$
Znaleźliśmy, że tą wartością jest 0.643
Przekształcamy równanie:
$$a=0.643 \cdot 4 +24=26.572$$
Odpowiedź: Zostaną wycięte drzewa większe od 26.572.

Rozkład Poissona

0 komentarzy

Rozkład Poissona wykorzystujemy gdy zachodzą warunki:

  • duża liczba niezależnych doświadczeń
  • prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesu w każdym przypadku jest jednakowe i małe np.$(p=0.01$)
  • X podlegająca temu rozkładowi określona jest jako liczba sukcesów w n eksperymentach
Rozkład Bernoulliego a Poissona
Uwaga Rozkład Poissona stosujemy, gdy mamy „duże n i małe p” w zadaniach z rozkładem dwumianowym (zwanym też Bernoulliego) i obliczenia są zbyt niewygodne.
X – zmienna losowa o rozkładzie Poissona o dodatnim parametrze $\lambda$ – $X\sim P(\lambda)$, $\lambda>0$,$\lambda=n \cdot p$
1.Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
$$P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}, k\in N_0$$
2.Dystrybuanta rozkładu Poissona
$$F(x)=\sum_{k\le x}e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}, k\in N_0$$
3.Wartość oczekiwana
$$EX=\lambda$$
4.Wariancja
$$Var(X)=\lambda$$

Rozkład Poissona – przykładowe zadania

Przykład
W pewnym hipermarkecie zatrudnionych jest 90 pracowników. Prawdopodobieństwo że pracownik się spóźni danego dnia wynosi p=0.03.
a) Podać wartość oczekiwana i odchylenie standardowe liczby pracowników, którzy w losowo wybranym miesiącu spóźnili się do pracy.
b) Jakie jest prawdopodobieństwo,że w losowo wybranym miesiącu do pracy spóźniło się:

  • 2 pracowników
  • więcej niż 3 pracowników
  • nie więcej niż 4 pracowników
Rozwiązanie
a) $EX=\lambda =n\cdot p=90 \cdot 0.03=2.7$ – wartość oczekiwana
$s=\sqrt{npq}=\sqrt{90\cdot 0.03 \cdot 0.97}=1.618$ – odchylenie standardowe

b)

  • Spóźniło się 2 pracowników do pracy

Wykorzystamy wzór $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$

Z poprzedniego punktu wiemy, że $\lambda =2.7$, chcemy obliczyć prawdopodobieństwo $k=2$ sukcesów
$P(X=2)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}=\frac{e^{-2.7}\cdot 2.7^2}{2!}=0.245$

  • Spóźniło się więcej niż 3 pracowników do pracy

$P(X>3)=1-P(X\le 3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$
$+P(X=3))=1-e^{-2.7}(\frac{2.7^0}{0!}+\frac{2.7^1}{1!}+\frac{2.7^2}{2!}+\frac{2.7^3}{3!})=0.286$

  • Spóźniło się nie więcej niż 4 pracowników do pracy

$P(X\leq 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$
$+P(X=4)=e^{-2.7}(\frac{2.7^0}{0!}+\frac{2.7^1}{1!}+\frac{2.7^2}{2!}+\frac{2.7^3}{3!}+\frac{2.7^4}{4!})=0.863$

Przykład
Daltonizm stwierdza się u 1% mężczyzn. Oblicz prawdopodobieństwo, że w próbie liczącej n=100 mężczyzn
a) nie będzie ani jednego daltonisty,
b) będzie co najmniej trzech.
Rozwiązanie
Mamy $n=100$, $p=0,01$
a) Będzie 0 daltonistów
$P(X=0)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}=\frac{1}{0!}\cdot e^{-1}=0,37$

b) Będzie co najmniej trzech daltonistów
$P(X\ge 3)=1-P(X>3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))$
Liczymy $P(X=0)=\frac{1}{0!}e^{-1}=0.37$, $P(X=1)=\frac{1}{1!}e^{-1}=0.37$, $P(X=2)=\frac{1}{2!}e^{-1}=0.18$
Podstawiamy $P(X\ge 3)=1-(0.37+0.37+0.18)=0.08$
Powyższe dwa zadania moglibyśmy rozwiązać wykorzystują rozkład dwumianowy (Bernoulliego), ale byłoby to niewygodne obliczeniowo.
Przykład
Niech $\xi$ będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona takim, że $P(\xi \le 1)=\frac{8}{9}P(\xi=2)$.Oblicz $E\xi $
Rozwiązanie
$\xi \sim P(\lambda)$ – zmienna Epsilon (równie dobrze mogła by być zmienna X – profesor na tym egzaminie miał swoj ulubiony zapis) ma rozkład Poissona z parametrem lambda. Musimy policzyć lambda. (czyli wartość oczekiwaną $E\xi $ naszej zmiennej $\xi $).

Wzór: $P(\xi =k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$

Równanie z polecenia: $P(\xi \le 1)=\frac{8}{9}P(\xi=2)$

Podstawiamy ze wzoru: $P(\xi \le 1)=P(\xi =0)+P(\xi =1)$
$P(\xi =0)+P(\xi =1)=\frac{8}{9}P(\xi=2)$
Czyli $\frac{\lambda^0}{0!}e^{-\lambda} +\frac{\lambda^1}{1!}e^{-\lambda}=\frac{8}{9} \cdot\frac{\lambda^2}{2!}e^{-\lambda}$ – w tym równaniu szukamy nieznanej wartości $\lambda$

Dzielimy przez $e^{-\lambda}$, dostajemy równanie kwadratowe

$1+\lambda=\frac{8}{9}\cdot \frac{\lambda^2}{2} |\cdot 18$
$18+18\lambda=8\lambda^2$
$4\lambda^2-9\lambda-9=0$
$\Delta=81-4\cdot 4 \cdot (-9)=225$
$\sqrt \Delta=15$
$\lambda_1=-\frac{3}{4}$,$\lambda_2=3$
$\lambda$ musi być dodatnia $\lambda>0$ ,więc jedynym poprawnym rozwiązaniem równanie jest
$\lambda=3$

Odp:  $E\xi = \lambda =3$

Wysokość, środkowa, dwusieczna w trójkącie

0 komentarzy

1.Wysokość

Wysokość trójkąta to najkrótszy odcinek łączący podstawę z przeciwległym wierzchołkiem. Oznacza to, że wysokość jest zawsze prostopadłą do podstawy (lub jej przedłużenia).
Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają się w jednym punkcie (ortocentrum).
Przykład
Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe $\ 6 \sqrt 3 $ bok tego trójkąta ma długość$\ 2 \sqrt 6 $.Oblicz jego wysokość
Rozwiązanie
Rysunek pomocniczy

Wzór na pole trójkąta to: $\ P=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h$
Podstawiając do wzoru nasze dane otrzymujemy równanie:
$$\ 6 \sqrt 3=\frac{1}{2} \cdot \ 2 \sqrt 6 \cdot h$$
Przekształcając otrzymujemy:
$$\ 6 \sqrt 3=\sqrt 6 \cdot h$$
$$\ 6 \frac{\sqrt 3}{\sqrt 6}=h$$
$$\ 3 \sqrt 2=h$$
Odpowiedź
Wysokość trójkąta wynosi $\ 3 \sqrt 2$

2.Środkowa

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Trójkąt ma trzy różne środkowe.
Środkowe przecinają się w jednym punkcie. Nazywamy go środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku 2:1.
Przykład
W danym trójkącie ABC środkowa poprowadzona na najdłuższy bok ma długość 15 cm i dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty z których jeden jest równoboczny a drugi równoramienny.Oblicz miary kątów danego trójkąta.
Rozwiązanie
Rysunek pomocniczy

Trójkąt ABD jest równoboczny, więc każdy z jego kątów ma 60 stopni. Trójkąt ACD jest równoramienny zatem jego kąty przy podstawie są równe.

Skoro $|\sphericalangle ABD|=60^\circ$ oraz $|\sphericalangle BAD|=60^\circ$ to suma kątów $|\sphericalangle ACD|$ i $|\sphericalangle CAD|$ jest równa $60^\circ$

Z faktu, że trójkąt ACD jest równoramienny oznacza, że $|\sphericalangle ACD|=30^\circ$ i $|\sphericalangle CAD|=30^\circ$

Odpowiedź: Kąty w trójkącie wynoszą 60, 90 i 30 stopni.

3.Dwusieczna

Dwusieczna kąta to półprosta dzieląca ten kąt na dwa równe kąty. Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie
Twierdzenie o dwusiecznej

Dwusieczna dzieli bok trójkąta na odcinki a i d o długościach spełniających równianie:
$$\frac{a}{c}=\frac{d}{b}$$
Przykład
Odcinek BD jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego ABC trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne AC i BC mają długości odpowiednio 5 i 3 i kąt $\beta=29.5^\circ$.Oblicz miarę kąta $|\sphericalangle BAC|$.
Rozwiązanie
Rysunek pomocniczy

Odcinek BD jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego ABC.
Zatem kąt $\beta$ jest połową kąta $|\sphericalangle ABC|$
Czyli kąt $|\sphericalangle ABC|=2 \cdot 29.5^\circ=59^\circ$
Więc kąt $|\sphericalangle BAC|=180^\circ-90^\circ-59^\circ=31^\circ$
Odpowiedź: Kąt $|\sphericalangle BAC|$ wynosi $31^\circ$

Rodzaje skal pomiarowych

0 komentarzy

Skala pomiarowa jest systemem symboli pozwalającym na usystematyzowanie zebranych przez nas pomiarów statystycznych. Symbole te pozwalają scharakteryzować badane przez nas obiekty względem określonej zmiennej.

Wyróżnia się różne skale ze względu na relacje jakie jesteśmy w stanie wyróżnić pomiędzy poszczególnymi danymi.

Wyróżniamy 4 podstawowe rodzaje skal pomiarowych:

  • skala nominalna
  • skala porządkowa
  • skala przedziałowa
  • skala ilorazowa

Skala nominalna

Przykłady: Nazwa miejscowości, płeć, grupa krwi, imiona,

Nazwa uniwersytetu (cecha nominalna) Poziom edukacji (cecha porządkowa) Data rozpoczęcia sesji letniej (cecha interwałowa) Ilość studentów (cecha ilorazowa)
Szkoła Handlowa Główna Wysoki 14. czerwca 2019 32300
Uniwersytet Ekonomiczny Bardzo wysoki 21. Czerwca 2019 12760
Politechnika Techniczna Bardzo wysoki 13. Czerwca 2019 18710
SGWG Dostateczny 28. Czerwca 2019 21290

Jest to najprostszy rodzaj skali pomiarowa, gdzie jedyną relacją jest równość.

Czasem wyróżnia się skala w której w jednym ze zbiorów występują tylko dwie wartości, np. odpowiedź pytanie typu tak/nie.

Skala porządkowa

Przykłady: Poziom wykształcenia, kolejność w rankingu.

Nazwa uniwersytetu (cecha nominalna) Poziom edukacji (cecha porządkowa) Data rozpoczęcia sesji letniej (cecha interwałowa) Ilość studentów (cecha ilorazowa)
Szkoła Handlowa Główna Wysoki 14. czerwca 2019 32300
Uniwersytet Ekonomiczny Bardzo wysoki 21. Czerwca 2019 12760
Politechnika Techniczna Bardzo wysoki 13. Czerwca 2019 18710
SGWG Dostateczny 28. Czerwca 2019 21290

Jesteśmy w stanie ułożyć elementy w pewnej kolejności, ale nie ma sensu stwierdzenie że któraś wartość jest np. 2 razy większy od innej wartości lub o 2 większa od innej wartości.

Skala przedziałowa/interwałowa

Przykłady: Temperatura, data urodzenia.

Nazwa uniwersytetu (cecha nominalna) Poziom edukacji (cecha porządkowa) Data rozpoczęcia sesji letniej (cecha interwałowa) Ilość studentów (cecha ilorazowa)
Szkoła Handlowa Główna Wysoki 14. czerwca 2019 32300
Uniwersytet Ekonomiczny Bardzo wysoki 21. Czerwca 2019 12760
Politechnika Techniczna Bardzo wysoki 13. Czerwca 2019 18710
SGWG Dostateczny 28. Czerwca 2019 21290

W tej skali pomiarowej relacją jest różnica między poszczególnymi elementami zbioru. Używamy jej, gdy różnica między konkretnymi elementami zbioru da się sensownie zinterpretować, zaś iloraz niekoniecznie (np. ma sens stwierdzenie, że temperatura jest o 2 stopnie wyższa, ale 2 razy wyższa temperatura już nie ma sensu).

Punkt zerowy tej skali jest umowny.

Skala ilorazowa

Przykłady: Masa, długość, wysokość.

Nazwa uniwersytetu (cecha nominalna) Poziom edukacji (cecha porządkowa) Data rozpoczęcia sesji letniej (cecha interwałowa) Ilość studentów (cecha ilorazowa)
Szkoła Handlowa Główna Wysoki 14. czerwca 2019 32300
Uniwersytet Ekonomiczny Bardzo wysoki 21. Czerwca 2019 12760
Politechnika Techniczna Bardzo wysoki 13. Czerwca 2019 18710
SGWG Dostateczny 28. Czerwca 2019 21290

Tu z kolei nie tylko różnice między elementami zbiorów mają swoją interpretacje, ale również ich ilorazy. Tutaj punkt zerowy jest z góry ustalony i nie zależy od badacza. (Ma sens zarówno stwierdzenie: waga większa o 2 kilogramy oraz 2 razy większa waga).