Związki między funkcjami trygonometrycznymi

a) Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy $cos\alpha$, podstawiając wartość sinusa

$si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

$(\frac{1}{2}{)}^2+co{s}^2\alpha =1$

$\frac{1}{4}+co{s}^2\alpha =1$

$co{s}^2\alpha =1-\frac{1}{4}$$=\frac{3}{4}$

$cos\alpha =\sqrt{\frac{3}{4}}$ ∨ $cos\alpha =-\sqrt{\frac{3}{4}}$

Odpowiedź: Dla $sin\alpha =\frac{1}{2}$, $cos\alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ i $tg\alpha =\sqrt{3}$.

b) Mając dany tangens kąta wyznaczamy zależność między $sin\alpha$ i $cos\alpha$:

$2=tg\alpha$

$2=\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$ /$\cdot cos\alpha$

$2\cdot cos\alpha =sin\alpha$

Podstawiamy wartość tego sinusa do jedynki trygonometrycznej:

$(2\cdot cos\alpha {)}^2+co{s}^2\alpha =1$

$(2{)}^2\cdot co{s}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

$2co{s}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

$3co{s}^2\alpha =1$

$co{s}^2\alpha =\frac{1}{3}$
$cos\alpha =\sqrt{\frac{1}{3}}$      ∨    $cos\alpha =-\sqrt{\frac{1}{3}}$

Obliczamy $sin\alpha$ podstawiając do równania wyznaczonego wcześniej

$\sqrt{2}\cdot cos\alpha =sin\alpha$

$\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=sin\alpha$

$sin\alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}$

Odpowiedź: Dla $tg\alpha =\sqrt{2}$: $sin\alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}$ i $cos\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$.

a) Metodą “na krzyż” upraszczamy równanie do postaci:

$si{n}^2\alpha =(1-cos\alpha )\cdot (1+cos\alpha )$

Po prawej stronie równania korzystamy ze wzoru redukcyjnego $((a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2)$

$si{n}^2\alpha =1-co{s}^2\alpha$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że $si{n}^2\alpha =1-co{s}^2\alpha$, a stąd otrzymujemy

$1-co{s}^2\alpha =1-co{s}^2\alpha$

Czyli lewa strona jest równa prawej stronie równania.

b) Zaczynamy od przeniesienia danych na jedną stronę

$\frac{sin\alpha +cos\alpha }{cos\alpha }=1+tg\alpha$

$\frac{sin\alpha +cos\alpha }{cos\alpha }-1-tg\alpha =0$

Dowodzimy, że $L=0$.

$L=\frac{sin\alpha +cos\alpha }{cos\alpha }-1-\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$$=\frac{sin\alpha +cos\alpha -sin\alpha }{cos\alpha }-1$$=\frac{cos\alpha }{cos\alpha }-1$$=1-1=0$

Wyliczamy wartość sinusa z jedynki trygonometrycznej

$si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

$si{n}^2\alpha +(\frac{8}{17}{)}^2=1$

$si{n}^2\alpha +\frac{64}{289}=1$

$si{n}^2\alpha =1-\frac{64}{289}$$=\frac{225}{289}$

$sin\alpha =\frac{15}{17}$      ∨       $sin\alpha =-\frac{15}{17}$

Bierzemy wartość dodatnią, bo $\alpha$ jest kątem ostrym.

Stąd $tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$$=\frac{\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}}$$=\frac{15}{17}\cdot \frac{17}{8}$$=\frac{15}{8}$

Podstawiamy do wyrażenia:

$\sqrt{t{g}^2\alpha +1}$$=\sqrt{(\frac{15}{8}{)}^2+1}$$=\sqrt{\frac{225}{64}+1}$$=\sqrt{\frac{225+64}{64}}$$=\sqrt{\frac{289}{64}}$$=\frac{17}{8}$

Odpowiedź: Wartość tego wyrażenia wynosi $\frac{17}{8}$.

Korzystając ze wzoru na $tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=2$ możemy wyznaczyć zależność

$sin\alpha =2cos\alpha$

Wstawiamy wartość sinusa do jedynki trygonometrycznej.

$si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

$(2cos\alpha {)}^2+co{s}^2\alpha =1$

$2^{2}co{s}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

$4co{s}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

$5co{s}^2\alpha =1$

$co{s}^2\alpha =\frac{1}{5}$

$cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$      ∨       $cos\alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}$

Podstawiamy do wyrażenia:

$\frac{si{n}^3\alpha +3co{s}^3\alpha }{sin\alpha }$$=\frac{(\frac{2\sqrt{5}}{5}{)}^3+3(\frac{\sqrt{5}}{5}{)}^3}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$$=\frac{\frac{8(\sqrt{5}{)}^3}{125}+\frac{3(\sqrt{5}{)}^3}{125}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$$=\frac{11(\sqrt{5}{)}^2\sqrt{5}}{125}\cdot \frac{5}{2\sqrt{5}}$$=\frac{11\cdot 5}{2}$$=\frac{55}{2}$$=27\frac{1}{2}$