Dla dowolnego kąta $α∊<0°,180°>$ zachodzą:

1.  $ sin^2α + cos^2α = 1$         JEDYNKA TRYGONOMETRYCZNA

( nie myl z zapisem $sinα^2 ≠ sin^2α$, prawdziwe jest $sin^2α = (sinα)^2$,

czyli dla $sinα = \frac 12$, $sin^2α$$ = (\frac 12)^2$$ = \frac 14$

2. $tgα = \frac{sinα}{cosα}$ ($sinα ≠ 0$ i $cosα ≠ 0$)

$ctgα = \frac {1}{tgα}$$ = \frac{cosα}{sinα}$

Uwaga: Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne – CKE strona 15.

Przykład: Oblicz wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $α$, jeśli

a) $sinα = \frac 12$,

b) $tgα = \sqrt{2}$

a) Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy $cosα$, podstawiając wartość sinusa

$ sin^2α + cos^2α = 1$

$(\frac 12)^2 + cos^2α = 1$

$\frac 14 + cos^2α = 1$

$cos^2α = 1 – \frac 14$$ = \frac 34$

$cosα = \sqrt{\frac 34}$ ∨ $cosα = – \sqrt{\frac 34}$

Uwaga: W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych (dla kątów ostrych) wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie.
Bierzemy dodatnią wartość $cosα$.
$cosα = \sqrt{\frac 34}$$ = \frac{\sqrt 3}{2}$
Podstawiamy do wzoru na tangensa:
$tgα = \frac{sinα}{cosα}$$ = \frac{ \frac{\sqrt 3}{2}}{\frac 12}$$ = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \frac 21$$ = \sqrt {3}$

Odpowiedź: Dla $sinα = \frac 12$, $cosα = \frac{\sqrt 3}{2}$ i $tgα = \sqrt {3}$.

b) Mając dany tangens kąta wyznaczamy zależność między $sinα$ i $cosα$:

$  2 = tgα$

$  2 = \frac{sinα}{cosα}$ /$ \cdot cosα$

$  2 \cdot cosα = sinα$

Podstawiamy wartość tego sinusa do jedynki trygonometrycznej:

$( 2 \cdot cosα)^2 + cos^2α = 1$

$( 2)^2 \cdot cos^2α + cos^2α = 1$

$2cos^2α + cos^2α = 1$

$3cos^2α = 1$

$cos^2α = \frac 13$
$cosα = \sqrt{\frac 13}$      ∨    $cosα = – \sqrt{\frac 13}$

Bierzemy wartość dodatnią:
$cosα = \sqrt{\frac 13}$$ = \frac{1}{\sqrt 3}$
Usuwamy niewymierność:
$cosα = \frac{1}{\sqrt 3} \cdot \frac{\sqrt 3}{\sqrt 3}$$ = \frac{\sqrt 3}{3}$

Obliczamy $sinα$ podstawiając do równania wyznaczonego wcześniej

$\sqrt 2 \cdot cosα = sinα$

$\sqrt 2 \cdot \frac{\sqrt 3}{3} = sinα$

$sinα = \frac{\sqrt 6}{3}$

Odpowiedź: Dla $tgα = \sqrt{2}$: $sinα = \frac{\sqrt 6}{3}$ i $cosα = \frac{\sqrt 3}{3}$.

Przykład: Udowodnij równość dla dowolnego kąta ostrego $α$.

a) $\frac {sinα}{1 – cosα} = \frac{1 + cosα}{sinα}$

b) $\frac {sinα + cosα}{cosα} = 1 + tgα$

a) Metodą “na krzyż” upraszczamy równanie do postaci:

$sin^2α = (1 – cosα) \cdot (1 + cosα)$

Po prawej stronie równania korzystamy ze wzoru redukcyjnego $((a + b) \cdot (a – b) = a^2 – b^2)$

$sin^2α = 1 – cos^2α$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że $sin^2α = 1 – cos^2α$, a stąd otrzymujemy

$1 – cos^2α = 1 – cos^2α$

Czyli lewa strona jest równa prawej stronie równania.

b) Zaczynamy od przeniesienia danych na jedną stronę

$\frac{sinα + cosα}{cosα} = 1 + tgα$

$\frac{sinα + cosα}{cosα} – 1 – tgα = 0$

Dowodzimy, że $L = 0$.

$L = \frac{sinα + cosα}{cosα} – 1 – \frac{sinα}{cosα}$$ = \frac{sinα + cosα – sinα}{cosα} – 1$$ = \frac{cosα}{cosα} – 1$$ = 1 – 1 = 0 $

Przykład: Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt{tg^2α + 1}$, jeżeli $cosα = \frac{8}{17}$.

Wyliczamy wartość sinusa z jedynki trygonometrycznej

$ sin^2α + cos^2α = 1$

$ sin^2α + (\frac{8}{17})^2 = 1$

$ sin^2α + \frac{64}{289} = 1$

$ sin^2α = 1 – \frac{64}{289}$$ = \frac{225}{289}$

$ sinα = \frac{15}{17}$      ∨       $ sinα = – \frac{15}{17}$

Bierzemy wartość dodatnią, bo $α$ jest kątem ostrym.

Stąd $tgα = \frac{sinα}{cosα}$$ = \frac{\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}}$$ = \frac{15}{17} \cdot \frac{17}{8}$$ = \frac{15}{8}$

Podstawiamy do wyrażenia:

$\sqrt{tg^2α + 1}$$ = \sqrt{(\frac{15}{8})^2 + 1}$$ = \sqrt{ \frac{225}{64} + 1}$$ = \sqrt{\frac{225 + 64}{64}}$$ = \sqrt{\frac{289}{64}}$$ = \frac{17}{8}$

Odpowiedź: Wartość tego wyrażenia wynosi $\frac{17}{8}$.

Przykład: Oblicz $\frac{sin^3α + 3cos^3α}{sinα}$, jeśli $α$ jest kątem ostrym i $tgα = 2$.

Korzystając ze wzoru na $tgα = \frac{sinα}{cosα} = 2$ możemy wyznaczyć zależność

$ sinα = 2cosα$

Wstawiamy wartość sinusa do jedynki trygonometrycznej.

$ sin^2α + cos^2α = 1$

$ (2cosα)^2 + cos^2α = 1$

$ 2^2cos^2α + cos^2α = 1$

$ 4 cos^2α + cos^2α = 1$

$5cos^2α = 1$

$cos^2α = \frac 15$

$ cosα = \frac{1}{\sqrt 5}$      ∨       $ cosα = – \frac{1}{\sqrt 5}$

Bierzemy wartość dodatnią:
$ cosα = \frac{1}{\sqrt 5}$
Usuwamy niewymierność:
$ cosα = \frac{1}{\sqrt 5}$$ = \frac{1}{\sqrt 5} \cdot \frac {\sqrt 5}{\sqrt 5}$$ = \frac {\sqrt 5}{5}$
Wracamy do podstawienia:
$ sinα = 2cosα$$ = 2 \cdot \frac {\sqrt 5}{5}$$ = \frac{2\sqrt 5}{5}$

Podstawiamy do wyrażenia:

$\frac{sin^3α + 3cos^3α}{sinα}$$ = \frac{( \frac{2\sqrt 5}{5})^3 + 3( \frac {\sqrt 5}{5})^3}{ \frac{2\sqrt 5}{5}}$$ =\frac{ \frac{8(\sqrt 5)^3}{125} +  \frac {3(\sqrt 5)^3}{125}}{ \frac{2\sqrt 5}{5}}$$ = \frac{11(\sqrt 5)^2 \sqrt 5}{125} \cdot \frac{5}{2 \sqrt 5}$$= \frac{11 \cdot 5}{2}$$ = \frac{55}{2}$$ = 27 \frac 12$

0