Dla dowolnego kąta $α∊<0°,180°>$ zachodzą:
1. $ sin^2α + cos^2α = 1$ ⇠ JEDYNKA TRYGONOMETRYCZNA
( nie myl z zapisem $sinα^2 ≠ sin^2α$, prawdziwe jest $sin^2α = (sinα)^2$,
czyli dla $sinα = \frac 12$, $sin^2α$$ = (\frac 12)^2$$ = \frac 14$
2. $tgα = \frac{sinα}{cosα}$ ($sinα ≠ 0$ i $cosα ≠ 0$)
$ctgα = \frac {1}{tgα}$$ = \frac{cosα}{sinα}$
Przykład: Oblicz wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $α$, jeśli
a) $sinα = \frac 12$,
b) $tgα = \sqrt{2}$
a) Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy $cosα$, podstawiając wartość sinusa
$ sin^2α + cos^2α = 1$
$(\frac 12)^2 + cos^2α = 1$
$\frac 14 + cos^2α = 1$
$cos^2α = 1 – \frac 14$$ = \frac 34$
$cosα = \sqrt{\frac 34}$ ∨ $cosα = – \sqrt{\frac 34}$
Odpowiedź: Dla $sinα = \frac 12$, $cosα = \frac{\sqrt 3}{2}$ i $tgα = \sqrt {3}$.
b) Mając dany tangens kąta wyznaczamy zależność między $sinα$ i $cosα$:
$ 2 = tgα$
$ 2 = \frac{sinα}{cosα}$ /$ \cdot cosα$
$ 2 \cdot cosα = sinα$
Podstawiamy wartość tego sinusa do jedynki trygonometrycznej:
$( 2 \cdot cosα)^2 + cos^2α = 1$
$( 2)^2 \cdot cos^2α + cos^2α = 1$
$2cos^2α + cos^2α = 1$
$3cos^2α = 1$
$cos^2α = \frac 13$
$cosα = \sqrt{\frac 13}$ ∨ $cosα = – \sqrt{\frac 13}$
Obliczamy $sinα$ podstawiając do równania wyznaczonego wcześniej
$\sqrt 2 \cdot cosα = sinα$
$\sqrt 2 \cdot \frac{\sqrt 3}{3} = sinα$
$sinα = \frac{\sqrt 6}{3}$
Odpowiedź: Dla $tgα = \sqrt{2}$: $sinα = \frac{\sqrt 6}{3}$ i $cosα = \frac{\sqrt 3}{3}$.
Przykład: Udowodnij równość dla dowolnego kąta ostrego $α$.
a) $\frac {sinα}{1 – cosα} = \frac{1 + cosα}{sinα}$
b) $\frac {sinα + cosα}{cosα} = 1 + tgα$
a) Metodą “na krzyż” upraszczamy równanie do postaci:
$sin^2α = (1 – cosα) \cdot (1 + cosα)$
Po prawej stronie równania korzystamy ze wzoru redukcyjnego $((a + b) \cdot (a – b) = a^2 – b^2)$
$sin^2α = 1 – cos^2α$
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że $sin^2α = 1 – cos^2α$, a stąd otrzymujemy
$1 – cos^2α = 1 – cos^2α$
Czyli lewa strona jest równa prawej stronie równania.
b) Zaczynamy od przeniesienia danych na jedną stronę
$\frac{sinα + cosα}{cosα} = 1 + tgα$
$\frac{sinα + cosα}{cosα} – 1 – tgα = 0$
Dowodzimy, że $L = 0$.
$L = \frac{sinα + cosα}{cosα} – 1 – \frac{sinα}{cosα}$$ = \frac{sinα + cosα – sinα}{cosα} – 1$$ = \frac{cosα}{cosα} – 1$$ = 1 – 1 = 0 $
Przykład: Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt{tg^2α + 1}$, jeżeli $cosα = \frac{8}{17}$.
Wyliczamy wartość sinusa z jedynki trygonometrycznej
$ sin^2α + cos^2α = 1$
$ sin^2α + (\frac{8}{17})^2 = 1$
$ sin^2α + \frac{64}{289} = 1$
$ sin^2α = 1 – \frac{64}{289}$$ = \frac{225}{289}$
$ sinα = \frac{15}{17}$ ∨ $ sinα = – \frac{15}{17}$
Bierzemy wartość dodatnią, bo $α$ jest kątem ostrym.
Stąd $tgα = \frac{sinα}{cosα}$$ = \frac{\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}}$$ = \frac{15}{17} \cdot \frac{17}{8}$$ = \frac{15}{8}$
Podstawiamy do wyrażenia:
$\sqrt{tg^2α + 1}$$ = \sqrt{(\frac{15}{8})^2 + 1}$$ = \sqrt{ \frac{225}{64} + 1}$$ = \sqrt{\frac{225 + 64}{64}}$$ = \sqrt{\frac{289}{64}}$$ = \frac{17}{8}$
Odpowiedź: Wartość tego wyrażenia wynosi $\frac{17}{8}$.
Przykład: Oblicz $\frac{sin^3α + 3cos^3α}{sinα}$, jeśli $α$ jest kątem ostrym i $tgα = 2$.
Korzystając ze wzoru na $tgα = \frac{sinα}{cosα} = 2$ możemy wyznaczyć zależność
$ sinα = 2cosα$
Wstawiamy wartość sinusa do jedynki trygonometrycznej.
$ sin^2α + cos^2α = 1$
$ (2cosα)^2 + cos^2α = 1$
$ 2^2cos^2α + cos^2α = 1$
$ 4 cos^2α + cos^2α = 1$
$5cos^2α = 1$
$cos^2α = \frac 15$
$ cosα = \frac{1}{\sqrt 5}$ ∨ $ cosα = – \frac{1}{\sqrt 5}$
Podstawiamy do wyrażenia:
$\frac{sin^3α + 3cos^3α}{sinα}$$ = \frac{( \frac{2\sqrt 5}{5})^3 + 3( \frac {\sqrt 5}{5})^3}{ \frac{2\sqrt 5}{5}}$$ =\frac{ \frac{8(\sqrt 5)^3}{125} + \frac {3(\sqrt 5)^3}{125}}{ \frac{2\sqrt 5}{5}}$$ = \frac{11(\sqrt 5)^2 \sqrt 5}{125} \cdot \frac{5}{2 \sqrt 5}$$= \frac{11 \cdot 5}{2}$$ = \frac{55}{2}$$ = 27 \frac 12$
