Czworokąt – okrąg wpisany i opisany

Narysujmy nasz okrąg wpisany w trapez i zaznaczmy wszystkie dane, które są podane w zadaniu.

Zauważmy, że wysokość trapezu jest równa 12, ponieważ h = 2r.
Ponadto wiemy, że w czworokąt można wpisać okrąg gdy $12+c=2a+x$
tzn. gdy sumy długości przeciwległych boków są sobie równe.

$$\sin {60}^{\circ }=\frac{12}{c}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12}{c}$$ $$c=8\sqrt{3}$$ $$\tan {60}^{\circ }=\frac{12}{x}$$ $$\sqrt{3}=\frac{12}{x}$$ $$x=4\sqrt{3}$$
Wróćmy do naszego równania
$$\mathbf{12}\mathbf{+}\mathbf{c}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{x}$$ $$\Updownarrow$$ $$12+8\sqrt{3}=2a+4\sqrt{3}$$ $$2a=12+4\sqrt{3}$$ $$a=6+2\sqrt{3}$$
Zatem mamy wszystko aby obliczyć pole trapezu

$P=\frac{2a+x}{2}\cdot 12$$=6\cdot (12+4\sqrt{3}+4\sqrt{3})$$=6\cdot (12+8\sqrt{3})$$=6\cdot 4\cdot (3+2\sqrt{3})$$=24(3+2\sqrt{3})$

Odp: Pole tego trapezu wynosi $\mathbf{24}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{)}\mathbf{c}{\mathbf{m}}^{\mathbf{2}}$.