Okrąg opisany na czworokącie

okrąg wpisany w czworokąt
Czworokąt wypukły można opisać na okręgu,
gdy zachodzi $\bf{a+c=b+d}$
Pole czworokąta opisanego na okręgu o promieniu r
$\bf{P=\frac{1}{2}r (a+b+c+d)}$

Czworokąt wpisany w okrąg

czworokąt wpisany w okrąg
Czworokąt wypukły można wpisać w okręg,
gdy zachodzi:
$${\alpha+\beta=\gamma+\delta =180^\circ}$$
Pole czworokąta wpisanego w okrąg
$$\bf{P=\sqrt{(p−a)(p−b)(p−c)(p−d)}}$$
gdzie: $ p=\frac{1}{2}(a+b+c+d)$

Przykłady zadań

Przykład 1: Trapez o kątach przy jednej z podstaw równych 60$^\circ$ i 90$^\circ$ jest opisany na okręgu o promieniu 6 cm. Wyznacz pole tego trapezu.

Narysujmy nasz okrąg wpisany w trapez i zaznaczmy wszystkie dane, które są podane w zadaniu.

Zauważmy, że wysokość trapezu jest równa 12, ponieważ h = 2r.
Ponadto wiemy, że w czworokąt można wpisać okrąg gdy $12+c =2a+x$
tzn. gdy sumy długości przeciwległych boków są sobie równe.

W trójkącie EBC skorzystamy z podanych
wcześniej kątów i ułożym odpowiednie proporcje
z funkcjami trygonometrycznymi.

$$\sin60^\circ = \frac{12}{c} $$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12}{c} $$ $$ c = 8\sqrt{3} $$ $$\tan60^\circ = \frac{12}{x} $$ $$\sqrt{3} = \frac{12}{x} $$ $$x = 4\sqrt{3} $$
Wróćmy do naszego równania
$$\bf 12+c=2a+x$$ $$ \Updownarrow$$ $$12+8\sqrt{3} = 2a+4\sqrt{3} $$ $$ 2a=12+4\sqrt{3} $$ $$ a = 6 +2\sqrt{3}$$
Zatem mamy wszystko aby obliczyć pole trapezu

$ P = \frac{2a+x}{2}\cdot 12 $$= 6 \cdot ( 12+4\sqrt{3}+4\sqrt{3})$$= 6 \cdot (12+8\sqrt{3}) $$= 6 \cdot 4 \cdot (3+ 2\sqrt{3}) $$= 24(3+2\sqrt{3})$

Odp: Pole tego trapezu wynosi $\bf 24(3+2\sqrt{3})cm^2$.

0