$a$ – przyprostokątna przy kącie $α$
$b$ – przyprostokątna naprzeciw kąta $α$
$c$ – przeciwprostokątna

W trójkącie prostokątnym dla kąta ostrego α definiujemy następujące stosunki długości:

$$\Large{sin α = \frac{\color{grey}{a}}{\color{red}{c}}}$$

$$\Large{cos α = \frac{\color{#008000}{b}}{\color{red}{c}}}$$

$$\Large{tg α = \frac{\color{grey}{a}}{\color{#008000}{b}}}$$

Przykład: Wyznacz sinus, cosinus i tangens kątów $\alpha$ i $\beta$.

Dla kąta $\alpha$ (patrz z perspektywy ●):
$sin \alpha= \frac{3}{5}$
$cos \alpha = \frac{4}{5}$
$tg \alpha = \frac{3}{4}$
Dla kąta $\beta$:
$sin \beta= \frac{4}{5}$
$cos \beta = \frac{3}{5}$
$tg \beta = \frac{4}{3}$

Przykład: W trójkącie prostokątnym $ABC$, $AB$ jest przeciwprostokątną i $|AB|=12$ $cm$. Ile wówczas jest równy sinus kąta $ABC$?

Rysujemy prostokąt z oznaczeniami wierzchołków zgodnie z treścią zadania. Kąt $∢ABC$ to kąt przy wierzchołku $B$ (ozn. $\alpha$).

Do obliczenia sinusa potrzebujemy przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta oraz przeciwprostokątnej. Z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy $|AC|$:

$|AC|^2 + 12^2 = 13^2$

$|AC|^2 = 169 – 144 = 25$

$|AC| = 5$

Stąd $sin α = \frac{|AC|}{|AB|}$$ = \frac{5}{13}$.
Odpowiedź: Sinus kąta $ABC$ wynosi $ \frac{5}{13}$.

Przykład: Oblicz wartość sinusa, cosinusa i tangensa kąta $\alpha$.

Krok 1: Potrzebujemy długości przeciwprostokątnej $AC$, z twierdzenia Pitagorasa:

$|AC|^2 = 1^2 + 3^2$

$|AC|^2 = 1 + 9$

$|AC|^2 = 10$

$|AC|^2 = \sqrt{10}$ (odrzucamy wartość ujemną, bo długość zawsze jest dodatnia)

Krok 2: Wyznaczamy wartości.

$sin \alpha = \frac{|BC|}{|AC|}$$ = \frac{3}{\sqrt{10}}$$ = \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$$ = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

$cos \alpha= \frac{|AB|}{|AC|}$$ \frac{1}{\sqrt{10}}$$ = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$$ = \frac{ \sqrt{10}}{10}$

$tg \alpha = \frac{|BC|}{|AB|}$$ = \frac{3}{1}$$ = 3$

Przykład: Dla kąta $\alpha$ przedstawionego na rysunku oblicz wartość wyrażenia $cos\alpha \cdot tg\alpha$.

Obliczamy długość przeciwprostokątnej naprzeciw kąta $\alpha$ (z twierdzenia Pitagorasa):

$x^2 + (7,2)^2 = (7,5)^2$

$x^2 = (7,5)^2 – (7,2)^2$

$x^2 = 4,41$

$x = 2,21$ (bierzemy wartość dodatnią)

Dla podanego trójkąta:

$cos\alpha = \frac{7,2}{7,5}$

$tg\alpha= \frac{2,1}{7,2}$

Upraszczamy w równaniu:

$cos\alpha \cdot tg\alpha$$ = \frac{7,2}{7,5} \cdot \frac{2,1}{7,2}$$ = \frac{2,1}{7,5}$$ = 0,28$

Odpowiedź: Wartość wyrażenia $cos\alpha \cdot tg\alpha = 0,28$.

0