Sinus i cosinus w trójkącie prostokątnym

Rysujemy prostokąt z oznaczeniami wierzchołków zgodnie z treścią zadania. Kąt $\sphericalangle ABC$ to kąt przy wierzchołku $B$ (ozn. $\alpha$).

Do obliczenia sinusa potrzebujemy przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta oraz przeciwprostokątnej. Z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy $|AC|$:

$|AC{|}^2+{12}^2={13}^2$

$|AC{|}^2=169-144=25$

$|AC|=5$

Stąd $sin\alpha =\frac{|AC|}{|AB|}$$=\frac{5}{13}$.
Odpowiedź: Sinus kąta $ABC$ wynosi $\frac{5}{13}$.

Krok 1: Potrzebujemy długości przeciwprostokątnej $AC$, z twierdzenia Pitagorasa:

$|AC{|}^2=1^2+3^2$

$|AC{|}^2=1+9$

$|AC{|}^2=10$

$|AC{|}^2=\sqrt{10}$ (odrzucamy wartość ujemną, bo długość zawsze jest dodatnia)

Krok 2: Wyznaczamy wartości.

$sin\alpha =\frac{|BC|}{|AC|}$$=\frac{3}{\sqrt{10}}$$=\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$$=\frac{3\sqrt{10}}{10}$

$cos\alpha =\frac{|AB|}{|AC|}$$\frac{1}{\sqrt{10}}$$=\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$$=\frac{\sqrt{10}}{10}$

$tg\alpha =\frac{|BC|}{|AB|}$$=\frac{3}{1}$$=3$

Obliczamy długość przeciwprostokątnej naprzeciw kąta $\alpha$ (z twierdzenia Pitagorasa):

$x^2+(7,2{)}^2=(7,5{)}^2$

$x^2=(7,5{)}^2-(7,2{)}^2$

$x^2=4,41$

$x=2,21$ (bierzemy wartość dodatnią)

Dla podanego trójkąta:

$cos\alpha =\frac{7,2}{7,5}$

$tg\alpha =\frac{2,1}{7,2}$

Upraszczamy w równaniu:

$cos\alpha \cdot tg\alpha$$=\frac{7,2}{7,5}\cdot \frac{2,1}{7,2}$$=\frac{2,1}{7,5}$$=0,28$

Odpowiedź: Wartość wyrażenia $cos\alpha \cdot tg\alpha =0,28$.