Prawdopodobieństwo

Jeżeli $\Omega$ jest skończonym zbiorem jednakowo prawdopodobnych zdarzeń elementarnych $\omega$
to dla $A\subset \Omega$ liczbę
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}$$
nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia $A$ gdzie:

• $|A|$ - moc zbioru $A$ (liczba elementów zbioru $A$)
• $|\Omega |$ - moc zbioru $\Omega$ (liczba elementów zbioru $\Omega$)

Doświadczenie losowe - działanie które można powtarzać wielokrotnie, posiadające skończoną ilość wyników np. rzut monetą , rzut kostką do gry  .

Zdarzenie elementarne - skutek doświadczenia losowego np. wyrzucenie orła $O$ lub reszki $R$

Zdarzenie losowe $A$ - podzbiór $A$ zbioru zdarzeń elementarnych $\Omega$ np. wyrzucenie nieparzystej liczby oczek na kostce do gry $A=${ , , }; jest to zbiór trzyelementowy tzn. $|A|=3$.

A' - zbiór zdarzeń przeciwnych do zdarzenia losowego $A$.

Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych np. $\Omega =\{O,R\}$, więc $|\Omega |=2$; $\Omega =${ , , , , , }, więc $\Omega =6$.

Zdarzeniem losowym polegającym na wyrzuceniu dwóch orłów może być $A=\{O,O\}$. Zdarzeniem przeciwnym do tego zdarzenia losowego $A$ nie jest wyrzucenie dwóch reszek! Zdarzeniem przeciwnym jest zdarzenie losowe polegające na nie wyrzuceniu dwóch orłów czyli wyrzucenie $A^{\prime }=\{\{O,R\},\{R,O\},\{R,R\}\}$

Drzewo stochastyczne jest to graf ilustrujący przebieg wieloetapowego doświadczenia losowego.

Wierzchołkom drzewa są przyporządkowane wyniki poszczególnych etapów doświadczenia.

Krawędziom drzewa są przyporządkowane prawdopodobieństwa uzyskania tych wyników.

Reguła iloczynów - wykorzystujemy ją do obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia opisanego na jednej gałęzi; jest ono równe iloczynowi prawdopodobieństw leżących
na konkretnej gałęzi (np. prawdopodobieństwo zdarzenia oznaczonego kolorem czerwonym $\{O,R\}$ wynosi $P_1\cdot P_2$)

Reguła sum - wykorzystujemy ją do obliczenia prawdopodobieństwa opisanego przez kilka gałęzi; jest ono równe sumie prawdopodobieństw otrzymanych regułą iloczynów
(np. prawdopodobieństwo zdarzeń $\{O,R\}$ i $\{R,O\}$ wynosi $P_1\cdot P_4+P_2\cdot P_5$)

Silnia

Silnią liczby całkowitej dodatniej $n$ nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych
od $1$ do $n$ włącznie:

$$n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n$$

Ponadto przyjmujemy umowę, że $0!=1$

Symbol Newtona

Dla liczb całkowitych $n$, $k$ spełniających warunki $0\le k\le n$ definiujemy współczynnik dwumianowy następująco:

$$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$$

Wariacje z powtórzeniami

Liczba sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa $$n^k$$

Wariacje bez powtórzeń

Liczba sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ $(1\le k\le n)$ różnych wyrazów jest równa

Permutacje

Liczba sposobów, na które $n$ $(n\ge 1)$ różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa $$n!$$

Kombinacje

Liczba sposobów, na które spośród $n$ różnych elementów można wybrać $k$ $(0\le k\le n)$ elementów, jest równa $$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$$