Symetralna odcinka

Na początek wyznaczmy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty $A$ i $B$.

Podstawmy do wzoru: $(y-y_a)(x_b-x_a)-(y_b-y_a)(x-x_a)=0$
gdzie $x_a=-2$, $y_a=4$, $x_b=2$, $y_b=2$.

Mamy:
$(y-y_a)(x_b-x_a)-(y_b-y_a)(x-x_a)$$=(y-4)(2-(-2))-(2-4)(x-(-2))$$=(y-4)\cdot 4+2\cdot (x+2)$$=4(y-4)+2(x+2)$$=4y-16+2x+4$$=2x+4y-12$$=0$
$$4y=-2x+12$$
$$y=-\frac{1}{2}x+3$$

Symetralna odcinka jest prostą prostopadłą do prostej $y=-\frac{1}{2}x+3$ zatem współczynik kierunkowy symetralnej wynosi $2$. ($2$ jest odwrotna i przeciwna do $-\frac{1}{2}$) Skąd to wiemy?

Symetralna odcinka przechodzi przez jego środek. Korzystamy ze wzoru:

$$S=(\frac{x_a+x_b}{2},\frac{y_a+y_b}{2})$$

$$S=(\frac{-2+2}{2},\frac{4+2}{2})$$

$$S=(0,3)$$

Wiemy więc, że symetralna przechodzi przez punkt $S=(0,3)$ oraz z prostopadłości wyraża się wzorem:$$y=2x+b$$

Podstawmy współrzędne punktu $S$ do wzoru:

$$y=2\cdot x+b$$

$$3=2\cdot 0+b$$

$$3=0+b$$

$$b=0$$

$$y=2x+3$$

Odpowiedź: Symetralna odcinka $AB$ zdefiniowana jest wzorem $y=2x+3$.

Zanim przejdziemy do rozwiązania przykładu wykonajmy rysunek zawierający wszystkie dane z polecenia. Dzięki temu rozwiązanie będzie bardziej intuicyjne 🙂

Widzimy teraz, że podstawą do rozwiązania zadania jest znalezienie stycznej odcinka $AB$. Skorzystajmy z powyższej uwagi.

$1°$ Wyznaczmy prostą przechodzącą przez punkty $A=(1,2)$ i $B=(4,3)$.

Mamy:
$(y-y_a)(x_b-x_a)-(y_b-y_a)(x-x_a)$$=(y-1)(4-1)-(3-2)(x-1)$$=-x+3y-5=0$

$3y=x+5$

$y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$

$2°$ Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$.

Współczynnik kierunkowy prostej $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$ to $\frac{1}{3}$.

Liczbą odwrotną do $\frac{1}{3}$ jest $3$.

Liczbą przeciwną do $3$ jest $-3$.

Ostatecznie szukana styczna jest postaci $y=-3x+b$.

$3°$ Szukamy środka odcinka $AB$.

Skoro $A=(1,2)$ i $B=(4,3)$, to środek odcinka $AB$ to $S=\frac{5}{2},\frac{5}{2}$.

$4°$ Skoro prosta $=-3x+b$ przechodzi punkt $S=(\frac{5}{2},\frac{5}{2})$ otrzymujemy, że:

$$\frac{5}{2}=-3\cdot \frac{5}{2}+b$$

$$\frac{5}{2}=-\frac{15}{2}+2|\cdot 2$$

$$\frac{20}{2}=b$$

$$b=10$$

Ostatecznie symetralna odcinka $AB$ jest postaci $y=-3x+10$

Znamy równanie stycznej do odcinka $AB$.
Jak dzięki temu wyznaczyć współrzędne punktu $C$?
Z rysunku wnioskujemy, że punkt $C$ jest punktem przecięcia znalezionej stycznej oraz prostej $y=x-1$.

Rozwiązujemy następujące równanie:
$$\{\begin{array}{l}y=-3x+10\\ y=x-1\end{array}$$Z drugiego równania wyznaczamy $x$$$\{\begin{array}{l}y=-3x+10\\ x=y+1\end{array}$$Podstawiamy $x$ do pierwszego rówaniania$$y=-3(y+1)+10$$$$y=-3y-3+10$$$$4y=7$$$$y=\frac{7}{4}$$Podstawmy $y$ do równania $x=y+1$$$x=\frac{7}{4}+1=\frac{11}{4}$$.

Ostatecznie punkt C ma następujące współrzędne: $x=\frac{11}{4}$, $y=\frac{7}{4}$.

Odpowiedź: Współrzędne wierzchołka $C$ wynoszą $(\frac{11}{4},\frac{7}{4})$.