Walec

Walec jest bryłą obrotową o dwóch jednakowych kołowych podstawach. Poznaj jego siatkę, przekrój osiowy oraz wzory na objętość, pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej.

Walec

Walec jest bryłą obrotową powstałą z obrotu o ${360}^{\circ }$ prostokąta o bokach $r,h$ dookoła prostej zawierającej bok $h.$ Bok prostokąta $h$ nazywamy wysokością walca, a bok $r$ jest promieniem podstawy walca.

Zwróćmy uwagę na to, jak wygląda siatka walca i jakie są jej wymiary.

Przekrój osiowy walca

Jeśli wyobrazimy sobie, że nasz walec jest tortem, to przekrój osiowy walca będzie prostokątem, który widzimy, gdy ktoś przekroi tort dokładnie na pół, tnąc równolegle do osi obrotu.

Objętość walca

Objętość walca liczymy podobne jak przy graniastosłupach korzystając ze wzoru:
$$Objętośćwalca=Polepodstawy\cdot wysokość$$
Różnica polega na tym, że podstawą walca jest koło, zatem:

Pole powierzchni bocznej walca\Pole powierzchni całkowitej walca

Jak można odczytać z zamieszczonego wyżej rysunku siatki, po "rozwinięciu" walca powierzchnią boczną walca jest prostokąt o wymiarach $h$ na $2\pi r.$

Pole powierzchni całkowitej walca określa się jako:

$Polepowierzchnicałkowitej=$$Polepowierzchnibocznej+$$2\cdot Polepodstawy$

Czyli po prostu:

Narysujmy obrazek poglądowy:

Ze wzoru na objętość walca mamy:
$V=\pi 4^2\cdot 3=48\pi$
Ze wzoru na pole powierzchni całkowitej walca mamy:
$P_C=2\pi \cdot 4^2+3\cdot 2\pi \cdot 4=32\pi +24\pi =56\pi$
Odpowiedź: Objętość tego walca to $48\pi ,$ a jego pole powierzchni całkowitej, to $56\pi .$

Narysujmy obrazek poglądowy:

Z treści zadania wiemy, że $V=32$
Ze wzoru na objętość walca mamy:
$V=\pi a^2\cdot 4a=4a^3\pi$
Zatem:
$32=4a^3\mid :4$
$8=a^3\pi \mid :\pi$
$a^3=\frac{8}{\pi }$
$a=\sqrt[3]{\frac{8}{\pi }}$
Odpowiedź: Promień podstawy tego walca ma długość $\sqrt[3]{\frac{8}{\pi }}$

Narysujmy obrazek poglądowy:

Ponieważ przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem ${45}^{\circ },$ sam przekrój osiowy walca jest kwadratem, stąd mamy:
$2r=8\mid :2$
$r=4$

Alternatywnie możemy dojść do tego samego wyniku w poniższy sposób:
$sin{45}^{\circ }=\frac{8}{2r}$
$1=\frac{8}{2r}\mid \cdot r$
$r=4$

Stąd i ze wzoru na objętość walca mamy:
$V=\pi 4^2\cdot 8=128\pi$
Odpowiedź: Objętość tego walca jest równa $128\pi .$