Oznaczmy środek przedziału jako $\dot{X_i} = \frac{X_p+X_k}{2}$, gdzie:
$X_p$ – początek przedziału,
$X_k$ – koniec przedziału.

Wariancję w szeregu przedziałowym można wyliczać na dwa sposoby

1. Korzystając z ilości $n_i$:
$$VarX = \frac{1}{n}\cdot\sum (\dot{X}_i -\overline{X})^2 \cdot n_i$$
2. Korzystając z częstości $\omega_i$:
$$VarX = \sum (\dot{X}_i -\overline{X})^2 \cdot \omega_i$$
Gdzie:
$\bf n$ – ilość obserwacji
$\bf n_i$ – liczebność i-tego przedziału
$\bf\omega_i$ – częstość obserwacji i-tego przedziału
$\bf\dot{X}_i$ – wartość środkowa i-tego przedziału
$\bf\overline{X}$ – średnia z wszystkich przedziałów

Przykłady

Przykład 1. W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz na dwa sposoby wariancję.

Wartość Ilość
1000-3000 2
3000-5000 3
5000-7000 10
7000-9000 7
9000-11000 1
Ilość obserwacji wynosi: $n = 25$, a średnia $\overline{X}_i = 6175,91$.
Najpierw dla każdego przedziału policzymy wartość środkową $\dot{X}_i$,$\dot{X}_i- \overline{X}$ oraz $(\dot{X}_i -\overline{X})^2$. :

Wartość $X_{i}$ Ilość $n_{i}$ Wartość środkowa $\dot{X}_{i}$ $\dot{X}_{i} -\overline{X}$ $(\dot{X}_{i} -\overline{X})^{2}$
1000-3000 2 $\frac{1000+3000}{2}$=2000 2000-6173.91 = –4173.91 (-4173.91)$^2$ = 17421524.69
3000-5000 3 4000 -2173.91 4725884.69
5000-7000 10 6000 -173.91 30244.69
7000-9000 7 8000 1826.09 3334604.69
9000-11000 1 10000 3826.09 14638964,69

Policzmy wariancję korzystając z ilości $n_i$

Wypiszmy potrzebne nam dane do tabeli

Wartość $X_{i}$ Ilość $n_{i}$ $\dot{X}_{i} -\overline{X}$ $(\dot{X}_{i} -\overline{X})^{2}$ $(\dot{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot n_{i}$
1000-3000 2 -4173.91 17421524.69 34843049,38
3000-5000 3 -2173.91 4725884.69 14177654,06
5000-7000 10 -173.91 30244.69 302446,88
7000-9000 7 1826.09 3334604.69 23342232,82
9000-11000 1 3826.09 14638964,69 14638964,69
Suma 87304347,83

Zliczmy wartości z ostatniej kolumny tabeli:

$\bf\sum (\dot{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot n_{i} $$= 87304347,83$

Teraz możemy skorzystać ze wzoru tzn.

$VarX = \frac{1}{n}\sum (\dot{X}_i -\overline{X})^2 \cdot n_i$

zatem:

$VarX = \frac{1}{23}\cdot 87304347,83 $$= 3795841,21 zł$

a odchylenie standardowe wynosi:

$\sigma = \sqrt{VarX} = \sqrt{3795841,21} $$= 1948,29 zł$

Policzmy wariancję korzystając z częstości $\omega_i$.

Tak jak wcześniej przygotujmy tabelę:

Wartość $X_{i}$ Ilość $\omega_{i}$ $\dot{X}_{i} -\overline{X}$ $(\dot{X}_{i} -\overline{X})^{2}$ $(\dot{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i}$
1000-3000 $\frac{2}{23}$ -4173.91 17421524.69 $\frac{2}{23} \cdot  17421524.69 $=1514915,19
3000-5000 $\frac{3}{23}$ -2173.91 4725884.69 616419,74
5000-7000 $\frac{10}{23}$ -173.91 30244.69 13149,86
7000-9000 $\frac{7}{23}$ 1826.09 3334604.69 1014879,69
9000-11000 $\frac{1}{23}$ 3826.09 14638964,69 636476,73
Suma 3795841,21

Zliczmy wartości z ostatniej kolumny tabeli:

$\bf\sum (\dot{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i} $$= 3795841,21$

Czyli zgodnie ze wzorem

$VarX = \sum (\dot{X}_i -\overline{X})^2 \cdot \omega_i$

mamy:

$VarX = 3795841,21 zł$

a odchylenie standardowe wynosi:

$\sigma = \sqrt{VarX} = \sqrt{3795841,21} $$= 1948,29 zł$

0