Przykład: Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia nieparzystej liczby oczek w jednokrotnym rzucie kostką?

Zacznijmy od zdefiniowania zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych.
W jednokrotnym rzucie monetą mamy: $Ω=${ , , , , , }.

Liczba elementów zbioru $Ω$ wynosi $6$, więc $|Ω|=6$.

Zdarzeniem losowym jest wyrzucenie parzystej liczby oczek.
W jednokrotnym rzucie monetą mamy: $A=${ , , }, gdzie $|A|=3$.

Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa mamy:

$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}$$=\frac36$$=\frac12$

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wyrzucenia nieparzystej liczby oczek w jednokrotnym rzucie kostką wynosi $P(A)=\frac12$.

Przykład: Ze zbioru liczb {$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$} wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby parzystej.
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych $Ω=${$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$}, więc $|Ω|=9$.
Zdarzenie losowe $A=${$2, 4, 6, 8$}, więc $|A|=4$.

Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa mamy:

$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}$$=\frac49$

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej ze zbioru $Ω$ wynosi $P(A)=\frac49$.

Przykład: Rzucamy trzy razy monetą . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia losowego polegającego na otrzymaniu orła w drugim i trzecim rzucie.

Zacznijmy od zdefiniowania zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych. W trzykrotnym rzucie monetą przyjmując $O$ jako “orzeł” i $R$ jako “reszka” mamy:

$Ω=${$O, O, O$}$, ${$O, O, R$}$,$ {$O, R, O$}$,$ {$R, O, O$}$,$ {$O, R, R$}$,$ {$R, O, R$}$,$ {$R, R, O$}$,$ {$R, R, R$}}

gdzie $|Ω|=8$.

Zdarzenie losowe $A$ – otrzymanie orła w drugim i trzecim rzucie.

W zbiorze $Ω$ oznaczmy wszystkie zdarzenia należące do zbioru $A$:

$Ω=${{${\color{blue}O, O, O}$}$, ${$O, O, R$}$,$ {$O, R, O$}$,$ {${\color{blue}R, O, O}$}$,$ {$O, R, R$}$,$ {$R, O, R$}$,$ {$R, R, O$}$,$ {$R, R, R$}}

Mamy, że $A=${{$O, O, O$}$,$ {$R, O, O$}}.

Liczba elementów zbioru $A$ to $2$, więc $|A|=2$.

Ostatecznie $P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac28=\frac14$.

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo otrzymania orła w drugim i trzecim rzucie w trzykrotnym rzucie monetą wynosi $P(A)=\frac14$.

Przykład: Rzucamy dwiema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na otrzymaniu sumy oczek na obu kostkach nie większej niż $7$.

Zdefiniujmy $Ω$ i $A$.

$A$ – otrzymanie sumy oczek na obu kostkach nie większej niż $7$ $\Leftrightarrow$ mniejszej lub równej $7$

$Ω=${$(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5);(1,6);$

$(2,1);(2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6);$

$(3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6);$

$(4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6);$

$(5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6);$

$(6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)$}

Mamy, że $|Ω|=36$.

W zbiorze $Ω$ oznaczmy wszystkie zdarzenia należące do zbioru $A$:

$Ω=${${\color{blue}(1,1)}$; ${\color{blue}(1,2)}$; ${\color{blue}(1,3)}$; ${\color{blue}(1,4)}$; ${\color{blue}(1,5)}$;${\color{blue}(1,6)}$;

${\color{blue}(2,1)}$;${\color{blue}(2,2)}$; ${\color{blue}(2,3)}$; ${\color{blue}(2,4)}$; ${\color{blue}(2,5)}$$; (2,6);$

${\color{blue}(3,1)}$; ${\color{blue}(3,2)}$; ${\color{blue}(3,3)}$; ${\color{blue}(3,4)}$$; (3,5); (3,6);$

${\color{blue}(4,1)}$; ${\color{blue}(4,2)}$; ${\color{blue}(4,3)}$$; (4,4); (4,5); (4,6);$

${\color{blue}(5,1)}$; ${\color{blue}(5,2)}$$; (5,3); (5,4); (5,5); (5,6);$

${\color{blue}(6,1)}$$; (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)$}

Mamy, że

$A=${$(1,1); (1,2);$$ (1,3); (1,4);$$ (1,5);(1,6);$
$ (2,1);(2,2);$$ (2,3); (2,4);$$ (2,5); $
$(3,1);$$ (3,2); (3,3);$$ (3,4); $
$(4,1);$$ (4,2); (4,3);$
$ (5,1); (5,2);$
$ (6,1)$}

Mamy, że $|A|=21$.

Ostatecznie $P(A)=\frac{21}{36}=\frac7{12}$.

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek na obu kostkach nie większej niż $7$ w dwukrotnym rzucie monetą wynosi $P(A)=\frac7{12}$.

0
Anita Księżak