Wyznacz wartość parametru $m$, dla której proste $3x-y+4=0$ i $y=\left(\frac{m-1}{2}\right)x+2$ są prostopadłe.

Polecenie

Rozwiązanie

Aby dwie funkcje liniowe $f$ i $g$ były prostopadłe ich współczynniki kierunkowe muszą spełniać równanie :  $a_1\cdot a_2=-1$, gdzie $f(x)=a_{1}x+b_1$ i $g(x)=a_{2}x+b_2$.

Czyli są one prostopadłe wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są względem siebie przeciwne i odwrotne.

Zauważmy, że współczynnikiem kierunkowym pierwszej prostej jest $3$, a drugiej $\left(\frac{m-1}{2}\right)$. Wstawmy je więc do naszego równania :

$a_1\cdot a_2=-1$

$3\cdot \left(\frac{m-1}{2}\right)=-1$

$3\cdot \left(\frac{m-1}{2}\right)=-1\cdot (2)$

$3\cdot (m-1)=-2$

$3m-3=-2$

$3m=-2+3$

$3m=1$

$m=\frac{1}{3}$

Zatem nasze proste są prostopadłe dla $m=\frac{1}{3}$.