Wyznacz wartość parametru $m$, dla której proste $3x-y+4=0$ i $y=\left(\frac{m-1}{2}\right)x+2$ są prostopadłe.
Matura
Poziom rozszerzony
Poziom podstawowy
Rozwiązanie:
Aby dwie funkcje liniowe $f$ i $g$ były prostopadłe ich współczynniki kierunkowe muszą spełniać równanie : $a_1\cdot a_2=-1$, gdzie $f(x)=a_1x+b_1$ i $g(x)=a_2x+b_2$.
Czyli są one prostopadłe wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są względem siebie przeciwne i odwrotne.
Zauważmy, że współczynnikiem kierunkowym pierwszej prostej jest $3$, a drugiej $\left(\frac{m-1}{2}\right)$. Wstawmy je więc do naszego równania :
$a_1\cdot a_2=-1$
$3\cdot\left(\frac{m-1}{2}\right)=-1$
$3\cdot\left(\frac{m-1}{2}\right)=-1 \ \cdot(2)$
$3\cdot(m-1)=-2$
$3m-3=-2$
$3m=-2+3$
$3m=1$
$m=\frac{1}{3}$
Zatem nasze proste są prostopadłe dla $m=\frac{1}{3}$.
1+