Przedział ufności dla średniej

Przedział ufności dla średniej pozwala uwzględnić niepewność oszacowania średniej w populacji na podstawie próby. Porównaj modele stosowane zależnie od liczebności próby i dostępności informacji o odchyleniu standardowym populacji.

Mamy 3 modele przedziałów ufności dla średniej.

	Duża próba $(n\ge 30)$	Mała próba $(n<30)$
ZNANE odchylenie standardowe populacji (σ)	Model 1 $\left(\overline{X}-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}};\overline{X}+u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$
NIE ZNANE odchylenie standardowe populacji (σ)	Model 2 $\sigma\approx S$ $\left(\overline{X}-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{n}};\overline{X}+u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$	Model 3 $\left(\overline{X}-t_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{n}};\overline{X}+t_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$

Duża próba

(n\ge 30)

Mała próba

(n<30)

ZNANE odchylenie standardowe populacji (σ)

Model 1

\left(\overline{X}-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}};\overline{X}+u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

NIE ZNANE odchylenie standardowe populacji (σ)

Model 2

$\sigma\approx S$

$\left(\overline{X}-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{n}};\overline{X}+u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$

Model 3

$\left(\overline{X}-t_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{n}};\overline{X}+t_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$

Model 1: (najrzadszy)

Możemy poznać, że trzeba zastosować ten model gdy:

w poleceniu padnie fraza “odchylenie standardowe populacji wynosi…”;
zostanie podana wartość $\sigma$ , czyli właśnie odchylenia standardowego populacji (nie próby);
padnie fraza np. "próbka pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym $N( ; 5)$ “, gdzie właśnie $5$ to będzie odchylenie standardowe populacji.

Wówczas stosujemy wzór:

P \left(\overline{X}-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<m<\overline{X}+u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha

gdzie:

$n$ to liczebność próby losowej;
$\overline{X}$ oznacza średnią z próby losowej;
$\sigma$ to odchylenie standardowe populacji;
$u_{1-\frac{\alpha}{2}}$ to wartość kwantyla $1-\frac{\alpha}{2}$ rozkładu normalnego standaryzowanego dla poziomu istotności $\alpha$ .

Przykład: Próba pobrana z dużej partii lamp elektrycznych zawiera

100

lamp. Średnia z próby długości świecenia lampy wynosi

1000

godzin. Na poziomie ufności

0.97

wyznacz przedział ufności dla średniej długości świecenia lampy z całej partii, jeśli wiadomo, że średnie odchylenie standardowe długości świecenia lampy wynosi

\sigma=40

godzin.

Odchylenie standardowe jest znane, $\sigma=40$ więc stosujemy model 1.

Dane:

$n=100$

$\overline{X}=1000$

$\sigma=40$

$1-\alpha=0.97$

$u_{1-\frac{\alpha}{2}}=u_{0.985}=2.17$ (z tablic rozkładu normalnego).

Podstawiamy do wzoru:

$P\left(1000-2.17\frac{40}{\sqrt{100}}<m<1000+2.17\frac{40}{\sqrt{100}}\right)=1-\alpha$

$P(991.32<m<1008.68)=0.97$

Szukany 97%-owy przedział ufności to $(991.32;1008.68)$ .

Model 2: Duża próba $n>30$

Wówczas korzystamy z następującego wzoru:

P\left(\overline{X}-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{n}}<m<\overline{X}+u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha

gdzie:

$n$ to liczebność próby losowej dzielonej przez $x$ ;
$\overline{X}$ oznacza średnią z próby losowej;
$S$ to odchylenie standardowe z próby;
$u_{1-\frac{\alpha}{2}}$ to wartość kwantyla $1-\frac{\alpha}{2}$ rozkładu normalnego standaryzowanego dla poziomu istotności $\alpha$ .

Wzór jest bardzo podobny jak w modelu 1, tylko zamiast σ piszemy s

Przykład: Próba pobrana z dużej partii lamp elektrycznych zawiera

100

lamp. Średnia z próby długości świecenia lampy wynosi

1000

godzin. Na poziomie ufności

0.97

wyznacz przedział ufności dla średniej długości świecenia lampy z całej partii, jeśli wiadomo, że średnie odchylenie standardowe długości świecenia lampy wynosi

S=40

godzin.

Odchylenie standardowe populacji nie jest znane (mamy jedynie odchylenie standardowe z próbki $S=40$ )

Dane:

$n=100$

$\overline{X}=1000$

$S=40$

$1-\alpha=0.97$

$u_{1-\frac{\alpha}{2}}=u_{0.985}=2.17$

Podstawiamy do wzoru:

$P\left(1000-2.17\frac{40}{\sqrt{100}}<m<1000+2.17\frac{40}{\sqrt{100}}\right)=1-\alpha$

$P(991.32<m<1008.68)=0.97$

Szukany 97%-owy przedział ufności to $(991.32;1008.68)$ .

Model 3: Mała próba $n\leq30$ oraz nieznane odchylenie standardowe populacji

Wówczas stosujemy wzór:

P\left(\overline{X}-t_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{S}{\sqrt{n}} <m< \overline{X}+t_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{S}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha

gdzie:

$n$ to liczebność próby losowej;
$\overline{X}$ oznacza średnią z próby losowej;
$S$ to odchylenie standardowe z próby;
$t_{1-\frac{\alpha}{2}}$ to wartość kwantyla $1-\frac{\alpha}{2}$ rozkładu t-Studenta o $n-1$ stopniach swobody dla poziomu istotności $\alpha$ .

Przykład: Na podstawie wielokrotnych obserwacji ustalono, że rozkład czasu dojazdu do pracy osób zatrudnionych w sklepach stołecznych jest rozkładem normalnym. W celu oszacowania nieznanej średniej w tym rozkładzie wylosowano niezależnie

17

-elementową próbę pracowników. Średni czas dojazdu w tej próbie wynosił

40

minut a odchylenie standardowe stanowiło połowę czasu średniego. Przyjmując współczynnik ufności

0.95

, oszacować metodą przedziałową średni czas dojazdu do pracy ogółu pracowników.

Dane:

$n=17$

$\overline{X}=40$

$S=20$

$1-\alpha=0.95$

$\alpha=0.05$

Odczytujemy wartość kwantyla z tablic rozkładu t-Studenta dla $n-1=16$ stopni swobody:

$t_{1-\frac{\alpha}{2}}=t_{0.975}=2.12$

Podstawiamy do wzoru:

$P\left(40-2.12\frac{20}{\sqrt{17}}<m<40+2.12\frac{20}{\sqrt{17}}\right)=1-\alpha$

$P(29.72<m<50.28)=0.95$

Szukany 95%-owy przedział ufności to $(29.72;50.28)$ .

Uwaga: Bardzo często w zadaniach będziemy musieli najpierw policzyć średnią i odchylenie standardowe z próbki.

Przykład: W centrali telefonicznej dokonano

7

obserwacji długości losowo wybranych rozmów w ciągu jednego dnia i otrzymano (w sekundach):

356

349

363

354

358

361

372

. Przy założeniu, że długości rozmów telefonicznych mają rozkład normalny wyznaczyć

99\%

realizację przedziału ufności dla wartości przeciętnej długości rozmowy telefonicznej przeprowadzonej za pośrednictwem tej centrali w danym dniu.

Dla utrudnienia dane mogą być również podane w postaci szeregu:

Przykład: W pewnym doświadczeniu fizycznym mierzy się czas występowania określonego efektu świetlnego. Przeprowadzono $n=1000$ niezależnych doświadczeń nad efektem i zbiór pogrupowanych wyników (w sekundach) jest następujący:

Czas efektu	Liczba doświadczeń
$0,0-0,2$	$50$
$0,2-0,4$	$128$
$0,4-0,6$	$245$
$0,6-0,8$	$286$
$0,8-1,0$	$134$
$1,0-1,2$	$90$
$1,2-1,4$	$67$

Na poziomie ufności $0.95$ oszacować metodą przedziałową średni czas trwania badanego efektu świetlnego.

Przedział ufności dla średniej – kurs

Jak rozwiązywać zadania ?

Wybierz model (patrz niżej) i napisz wzór.
Wypisz dane: średnia, odch. st., liczebność, poziom alfa (czasem trzeba je jeszcze policzyć).
Znajdź w tablicach odpowiedni kwantyl $1-\frac{\alpha}{2}$ dla rozkładu normalnego lub t-Studenta.
Podstaw do wzoru.
Interpretacja.

Jak wybrać model ?

Znane odchylenie standardowe populacji?➡ Model 1
Nieznane odchylenie standardowe populacji?:

mała próba?➡ Model 2
duża próba?➡ Model 3

Model I
Populacja generalna ma rozkład normalny

N( m, \sigma )

. Wartość średnia

m

jest nieznana, odchylenie standardowe

\sigma

jest znane. Wybrano próbę o liczebności n. Wtedy przedział ufności dla średniej ma postać:

\overline{x}-u_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}< m < \overline{x}+u_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

gdzie

\mu _{\alpha}

-wartość zmiennej losowej odczytana z tablic rozkładu normalnego standardowego N(0,1), spełniająca warunek:

\phi(u_{\alpha})=1-\frac{\alpha}{2}

(warunek może się różnic w zależności od stosowanych tablic)

Model II
Populacja generalna ma rozkład normalny $N( m, \sigma )$ . Wartość średnia $m$ oraz odchylenie standardowe $\sigma$
w populacji są nieznane. Wybrano małą probe o liczebności $n \le 30$ . Wtedy przedział ufności dla średniej ma postać:
$\overline{x}-t_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n-1}}< m < \overline{x}+t_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n-1}}$
gdzie
s-odchylenie standardowe z próby
$t_{\alpha}$ -wartość zmiennej losowej odczytana z tablic rozkładu t-Studenta dla r=n-1 stopni swobody spełniająca warunek: $S(t_{\alpha})=\alpha$
(warunek może się różnic w zależności od stosowanych tablic)

Model III
Populacja generalna ma rozkład normalny $N( m, \sigma )$ . Wartość średnia $m$ oraz odchylenie standardowe $\sigma$
w populacji są nieznane. Wybrano duża próbe o liczebności n>30. Wtedy przedział ufności dla średniej ma postać:
$\overline{x}-u_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}}< m < \overline{x}+u_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}}$
gdzie $\mu _{\alpha}$ -wartość zmiennej losowej z tablic rozkładu normalnego standardowego N(0,1) spełniająca warunek:
$\phi(u_{\alpha})=1-\frac{\alpha}{2}$

To jest bardzo popularny typ zadania

Najpopularniejszy z całego działu wnioskowania statystycznego

PDFy które możesz wydrukować
Teoria | Lekcja video |Zadania

Lekcja 1 - Przedział Ufności Dla Średniej 29:54

Filmik się nie ładuje? Odśwież stronę Pomoc

Z badań budżetów rodzinnych dla 206 wylosowanych niezależnych gospodarstw domowych w Krakowie otrzymano średnią miesięczną kwotę wydatku na żywność 1480 PLN oraz odchylenie standardowe tych wydatków 124 PLN. Zbudować przedział ufności dla przeciętnej wydatków na żywność w gospodarstwach domowych, przyjmując współczynnik ufności 0,95.

Wytrzymałość pewnego materiału budowlanego jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. W celu oszacowania nieznanej przeciętnej wytrzymałości tego materiału dokonano na 5 wylosowanych niezależnych sztukach tego materiału pomiarów wytrzymałości i otrzymano w (w $kG/cm^{2}$ ): 20,4 ; 19,6 ; 22,1 ; 20,8 ; 21. Przyjmując współczynnik ufności 0,99 zbudować przedział ufności dla przeciętnej wytrzymałości tego materiału.

Zarejestrowano zawartość pewnego składnika odżywczego w 12 losowo wybranych jabłkach różnych gatunków uzyskując (wyniki w miligramach): 29, 26, 20, 22, 21, 25, 23, 28, 19, 24, 27, 22. Zakładając że rozkład zawartości tego składnika jest normalny oraz odchylenie standardowe wartości cechy z próby $s \approx 3.21$ oszacuj, przy współczynniku ufności 0,95 średnia zawartość badanego składnika odżywczego w jabłkach.

Zakładamy, że miesięczne wydatki na obuwie gospodarstw domowych mają rozkład normalny. Na podstawie 27 losowo wybranych gospodarstw otrzymano średnią 206 zł i odchylenie standardowe 49 zł. Zbuduj przedział ufności dla odchylenie standardowego.

Wiadomo, że wydajność pracy podlega rozkładowi normalnemu. Próba 26 pracowników dała średnią arytmetyczną wydajności 27 sztuk na jednego pracownika oraz odchylenie standardowe 4 sztuki. Przyjmując współczynnik ufności p=0,9 zbudować przedział ufności dla przeciętnej wydajności pracy wszystkich pracowników tego zakładu.