Suma ciągu geometrycznego

Sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego można obliczyć bez dodawania każdego z nich osobno. Poznaj wzór na sumę i przećwicz jego zastosowanie, także z pomocą interaktywnego ćwiczenia.

Suma ciągu geometrycznego - wzór

Aby obliczyć sumę $n$ pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego korzystamy ze wzoru:

$\Large{S_n = {\color{blue}a_1} \cdot \frac{1-{\color{#339966}q}^{\color{red}n}}{1-{\color{#339966}q}}}$
gdzie:
$a_1$ - pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,
$q$ - iloraz ciągu geometrycznego,
$n$ - liczba wyrazów.

Przykład: Oblicz sumy pierwszych sześciu wyrazów ciągu geometrycznego o wzorze na $n$ -ty wyraz $a_n = 3^n$ .

Krok 1: Najpierw z podanego wzoru obliczamy $a_1$ :

$a_1 = 3^1 = 3$

Krok 2: Następnie obliczmy $a_2$ - potrzebne będzie do obliczenia $q$ :

$a_2 = 3^2 = 9$

Krok 3: Teraz wyliczamy $q$ ze wzoru:

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$

$q=\frac{a_{2}}{a_1}$ $= \frac{9}{3} = 3$

Krok 4: Mamy już $a_1$ , $q$ i $n$ (podane w treści zadania), więc możemy użyć wzoru na sumę ciągu:

$S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ $= 3\cdot \frac{1- 3^6}{1- 3}$ $= 3 \cdot \frac{1- 729}{-2}$ $= 3 \cdot \frac{-728}{-2}$ $= 3 \cdot 364$ $= 1092$

Odpowiedź: Suma pierwszych sześciu wyrazów tego ciągu to $S_n = 1092$ .

Uwaga: W pierwszych dwóch krokach mogliśmy wziąć dowolne dwa sąsiednie wyrazy, aby obliczyć

q

, wzięliśmy jednak dwa początkowe ze względu na łatwość obliczeń.

PrzykładL Oblicz sumę czterech pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1 = - 2$ i ilorazie $q = \sqrt2$ .

W treści zadania podane są wszystkie potrzebne dane. Wstawiamy je do wzoru:

$S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ $= - 2 \cdot \frac{1- (\sqrt2)^4}{1- (\sqrt2)}$ $= -2 \cdot \frac{1- 8}{1 - (\sqrt2)}$ $= - 2 \cdot \frac{ - 7}{1 - \sqrt2}$ $=\frac{14}{ 1- (\sqrt2)}$

Aby otrzymać wynik w najprostszej postaci musimy usunąć niewymierność z mianownika:

$S_n = \frac{14}{ 1- (\sqrt2)}$ $= \frac{14}{ 1- (\sqrt2)} \cdot \frac{1 + \sqrt2}{ 1+ \sqrt2}$ $= \frac{14 + 14\sqrt2}{ 1- 2}$ $= - 14 +14 \sqrt2$

Odpowiedź: Suma pierwszych czterech wyrazów tego ciągu to $S_n = - 14 +14 \sqrt2$ .

Przykład: Oblicz sumę pięciu pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego $\frac14, \frac12, 1,...$ .

Ponieważ znamy pierwszy wyraz ciągu oraz $n = 5$ musimy obliczyć iloraz $q$ . Wstawiając do wzoru otrzymujemy:

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ $= \frac{\frac14}{\frac12}$ $= \frac12$

Obliczamy teraz sumę:

$S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ $= \frac14 \cdot \frac{1- (\frac12)^5}{1- (\frac12)}$ $= \frac14 \cdot \frac{\frac{31}{32}}{\frac12}$ $= \frac12 \cdot \frac{31}{32}$ $= \frac{31}{64}$

Odpowiedź: Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu to $S_n = \frac{31}{64}$ .

Uwaga: Znając pierwszy wyraz ciągu oraz różnicę możemy wyznaczyć dowolny wyraz tego ciągu za pomocą wzoru:

$\Large{\color{red}{a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}}}$

Przykład: Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy $\frac12$ , a szósty jest równy $4$ . Oblicz sumę pierwszych ośmiu wyrazów tego ciągu.

Zgodnie z uwagą, aby otrzymać $a_6$ z $a_3$ , trzeba pomnożyć $a_3$ trzykrotnie przez iloraz:

$a_6 = a_3 \cdot q^3$

Z tego równania obliczamy $q$ :

$4 = \frac12 \cdot q^3 \hspace{0,5cm}| \cdot 2$

$q^3 = 8$

Pierwiastkując otrzymujemy $q = 2$ .

Możemy teraz obliczyć $a_1$ , używając wzoru z powyższej uwagi:

$a_3 = a_1 \cdot q^{2}$

$\frac12 = a_1 \cdot 2^2$

$\frac12 = a_1 \cdot 4 | \div 4$

$a_1 = \frac18$

Wszystkie potrzebne dane używamy we wzorze na sumę ciągu:

$S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ $=\frac18 \cdot \frac{1 - 2^8}{1 - 2}$ $=\frac18 \cdot \frac {1-256}{- 1}$ $= \frac18 \cdot {255}$ $= 31 \frac78$

Odpowiedź: Suma pierwszych sześciu wyrazów tego ciągu to $S_n = 31 \frac78$ .