Prosta i okrąg

Rysujemy pomocniczy szkic. Zgodnie z treścią zadania kąt między ramionami ma mierzyć $30°$, czyli:

Liczymy długość krótszego łuku (zaznaczonego na czerwono) podstawiając do wzoru $r=5$ $cm$ i $\alpha =30°$.$l=\frac{30°}{360°}\cdot 2\pi \cdot 5$$=\frac{1}{12}\cdot 10\pi$$=\frac{10}{12}\pi$$=\frac{5}{6}\pi$

Odpowiedź: Długość krótszego łuku wynosi $l=\frac{5}{6}\pi$ $cm$.

Zaznaczamy kąt między promieniami: $120°$

Rysujemy styczne i zaznaczamy szukany kąt.

Suma kątów w czworokącie wynosi $360°$. Skoro promień pada na styczną pod kątem prostym to zadanie sprowadza się do zwykłego równania, w którym sumujemy miary kątów:$120°+2\cdot 90°+\alpha =360°$$\alpha =360°-(120°+2\cdot 90°)$$=60°$

Odpowiedź: Styczne tworzą kąt $\alpha =60°$.

Długość odcinka $|PB|$ to odległość punktu $P$ od okręgu, oznaczamy ją jako $a$.

Skoro $|PS|$ jest 3-razy większy od $|PB|$ to cały odcinek $|PS|$ jest równy $3a$. Zatem skoro wiemy, że $|PB|=a$, $|PS|=3a$, to$|SB|=2a$ i |SB| jest promieniem okręgu, czyli wnioskujemy, że również $|CS|=2a$ (też jest promieniem okręgu).

Niech $|AP|=x$.
Szukamy takiego ilorazu:
$\frac{|PA|}{|PS|}$$=\frac{x}{3a}$.

Z twierdzenia o odcinkach siecznej i stycznej mamy równanie:
$|PB|\cdot |PC|$$=|PA{|}^2$$a\cdot 5a=x^2$

Wyliczamy $x$:
$x=\sqrt{5a^2}$$=\sqrt{5}\cdot \sqrt{a^2}$ ($a$ jest długością odcinka, dlatego nie może być ujemny)
$x=a\sqrt{5}$

Podstawiamy do ilorazu:
$\frac{|PA|}{|PS|}$$=\frac{x}{3a}$$=\frac{a\sqrt{5}}{3a}$$=\frac{\sqrt{5}}{3}$

Odpowiedź: Szukany stosunek długości to $\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Odległość punktu $O$ - środka okręgu od cięciwy jest mierzona pod kątem prostym.

Rysujemy dowolną cięciwę $AB$. Dorysowujemy do punktów $A$ i $B$ promienie. Powstały trójkąt $OAB$ jest równoramienny ze względu na promienie, a $OC$ jest wysokością, która dzieli $AB$ na dwie równe części: $\frac{8}{2}=4$.

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość promienia:

$r^2=3^2+4^2$

$r^2=25$

$r=5$ (odrzucamy ujemną liczbę, bo długość nigdy nie jest z “-” ).

Odpowiedź: Długość promienia okręgu wynosi $5$.

Krok 1: Zaznaczamy na rysunku wszystkie długości:

Zauważmy, że powstaje trójkąt równoboczny, czyli w takiej sytuacji wszystkie jego kąty są równe $3\alpha =180°$
$\alpha =60°$

Krok 2: Obliczamy długość krótszego łuku:

$l_1=\frac{60°}{360°}\cdot 2\pi \cdot 8$$=\frac{1}{6}\cdot 16\pi$$=\frac{8}{3}\pi$

Krok 3: Obliczamy długość dłuższego łuku:

$l_2=\frac{300°}{360°}\cdot 2\pi \cdot 8$$=\frac{5}{6}\cdot 16\pi$$=\frac{40}{3}\pi$

Można również zauważyć, że długość dłuższego łuku to długość całego okręgu pomniejszona o krótszy łuk, czyli

$l_2=2\pi r-\frac{8}{3}\pi$$=16\pi -\frac{8}{3}\pi$$=\frac{40}{3}\pi$.

Odpowiedź: Długości łuków wynoszą $\frac{8}{3}\pi$ $cm$ i $\frac{40}{3}\pi$ $cm$.

Odcinek $|AS|$ składa się z promienia i odcinka $|AD|=a$, którego długość wynosi $a=|AS|-r$$=16-8=8$.

Dodatkowo oznaczamy $|AB|=b$, a stąd $|BC|=20-b$.

Do obliczenia $|BC|$ używamy twierdzenia i odcinkach siecznych. Żeby jednak skorzystać z tego wzoru dorysowujemy promień $r=|SE|$, czyli $|AE|=|AS|+r$$=16+8=24$

Z twierdzenia otrzymujemy:

$|AB|\cdot |AC|=|AD|\cdot |AE|$

$b\cdot 20=8\cdot 24$

$b=\frac{8\cdot 24}{20}$$=\frac{48}{5}$, a stąd

$|BC|=20-\frac{48}{5}$$=\frac{100-48}{5}=\frac{52}{5}$.

Odpowiedź: Długość odcinka $|BC|$ wynosi $\frac{52}{5}$ $cm$.

Rysujemy dowolny czworokąt tak, aby średnica była przekątną. Wyobraźmy sobie, że $|AC|$ składa się z 6 równych części, długości $x$, (bo $1+5=6$). Rysujemy przekątną $|BD|$ tak, że dzieli $|AC|$ na długości $x$ i $5x$.

Wiemy, że średnica wynosi $24$ $cm$, zatem
$6x=24$
$x=4$ $cm$Zbierając nasze dane rysunek wygląda następująco:

Z tw. o odcinkach siecznych:$|PA|\cdot |PC|=|PB|\cdot |PD|$
$4\cdot (8+12)=6\cdot |PD|$$|PD|=\frac{4\cdot 20}{6}=\frac{40}{3}$

Cała długość
$|BD|=|BP|+|PD|$$=6+\frac{40}{3}$$=\frac{18+40}{3}$$=\frac{58}{3}$

Odpowiedź: Długość przekątnej |BD| wynosi $\frac{58}{3}$ $cm$.

>$\alpha =\beta$ - to kąty wierzchołkowe

Na podstawie twierdzenia o odcinkach siecznych mamy:
$|PA|\cdot |PB|=|PC|\cdot |PD|$$x\cdot y=k\cdot m$ | dzielimy przez $m$ i $y$$\frac{x}{m}=\frac{k}{y}$

W trójkątach $ACP$ i $BPD$ odpowiednie boki są proporcjonalne, a kąty zawarte między tymi bokami są równe - dlatego na mocy cechy bok-kąt-bok trójkąty $ACP$ i $BPD$ są podobne.