Własności prawdopodobieństwa

Własności prawdopodobieństwa pozwalają obliczać szanse zdarzeń na podstawie zależności między nimi. Przećwicz zadania dotyczące zdarzenia przeciwnego, sumy i części wspólnej zdarzeń, korzystając z działań na zbiorach.

Przed rozwiązywaniem zadań przypomnij sobie działanie na zbiorach. [hiperłącze]

Przykład: Oblicz $P(A)$ wiedząc, że $P(A^{\prime })=3P(A)$.

Przykład: Zdarzenia $A$ i $B$ należą do $\Omega$. Znajdź $P(A\cup B)$ i $P(A\cap B)$, jeżeli $P(A)=0,5$, $P(B)=0,3$ i $B\subset A$.

Naszkicujmy obrazek pokazujący wzajemne położenie zbiorów:

Widzimy, że $A\cup B=A$ i $A\cap B=B$.Mamy więc, że $P(A\cup B)=P(B)=0,3$.

$P(A\cap B)=P(A)=0,5$

Odpowiedź: $P(A\cup B)=0,3$ i $P(A\cap B)=0,5$.

Przykład: Zdarzenia losowe $A$ i $B$ są zawarte w przestrzeni $\Omega$ Oblicz $P(B^{\prime })$ wiedząc, że $A\subset B$ oraz $P(A\cup B)=\frac{7}{10}$.

Naszkicujmy obrazek pokazujący wzajemne położenie zbiorów:

Skoro $A\subset B$ to $P(A\cup B)=P(B)$ $\Rightarrow$ $P(A\cup B)=\frac{7}{10}$.Zatem $P(B^{\prime })=1-P(B)$ i $P(B^{\prime })=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}$.

Odpowiedź: $P(B^{\prime })=\frac{3}{10}$.

Przykład: O zdarzeniach losowych $A$ i $B$ wiemy, że $P(A)=\frac{2}{3}$, $P(B)=\frac{3}{8}$, $P(A\cup B)=\frac{3}{4}$. Oblicz $P(A\cap B)$.

Przykład: Zdarzenia rozłączne $A$ i $B$ są zawarte w przestrzeni $\Omega$. Oblicz prawdopodobieństwo sumy zdarzeń $A$ i $B$ wiedząc, że prawdopodobieństwo $A^{\prime }$ jest dwa razy większe niż $A$ oraz prawdopodobieństwa $B$ i $B^{\prime }$ są równe.