Zadania zaczynające się od pytania „ile jest liczb?” wymagają ustalenia, jakie cyfry mogą wystąpić na poszczególnych miejscach. Na przykładzie liczb trzycyfrowych podzielnych przez pięć zobaczysz, jak zastosować regułę mnożenia.
W zadaniach typu “Ile jest liczb…” wykorzystujemy regułę mnożenia.
Przykład: Ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez ?
Na pierwszym miejscu mamy możliwych cyfr: ( nie uwzględniamy tutaj zera, bo liczba nie może się od niego zaczynać).
Na drugim miejscu mamy możliwych cyfr : .
Na trzecim miejscu mamy tylko dwie możliwe cyfry: (liczba jest podzielna przez , gdy kończy się na zerem lub piątką).
Odpowiedź: Istnieje 180 liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5.
Przykład: Dany jest zbiór , ile liczb czterocyfrowych możemy zapisać za pomocą tych cyfr, jeżeli:
a) cyfry mogą się powtarzać,
b) cyfry nie mogą się powtarzać.
a) Szukamy czterocyfrowej liczby złożonej tylko z elementów ze zbioru A. Cyfrę tysięcy możemy wybrać na różne sposoby, podstawiając lub , ponieważ cyfrą tysięcy nie może być .
Każdą kolejną cyfrę można wybrać na sposobów, podstawiając lub .
Zatem możemy otrzymać liczb.
Odpowiedź: Możemy zapisać takich liczb czterocyfrowych.
b) Cyfrę tysięcy możemy wybrać na różne sposoby, ponieważ nie może być cyfrą tysięcy.
Cyfrę setek możemy wybrać także na różne sposoby, ponieważ cyfra setek nie może być taka sama jak cyfra tysięcy, a mamy teraz dodatkowo .
Cyfrę dziesiątek możemy wybrać na różne sposoby, ponieważ nie może być ona taka sama jak cyfra tysięcy i setek, a cyfrę jedności możemy wybrać na różne sposoby, ponieważ musi być ona różna od cyfry tysięcy, setek i dziesiątek.
Mamy zatem: .
Odpowiedź: Możemy zapisać liczb czterocyfrowych.
Przykład: Ile liczb trzycyfrowych większy od zapiszemy używając cyfr należących do zbioru , (cyfry mogą się powtarzać).
Żeby liczba była większa od na pierwszym miejscu musi stać: lub , zatem cyfrę setek możemy wybrać na różne sposoby.
Pozostałe cyfry mogą być dowolne, możemy je wybrać na różnych sposobów, zatem otrzymujemy:
Odpowiedź: Zapiszemy takich liczb.
Przykład: Ile różnych liczb czterocyfrowych możemy zapisać wybierając cyfry ze zbioru jeżeli cyfra tysięcy ma być nieparzysta, a cyfra dziesiątek parzysta.
a) cyfry mogą się powtarzać
b) cyfry nie mogą się powtarzać.
a) Cyfrę tysięcy możemy wybrać na różne sposoby, ponieważ wybieramy ją z cyfr nieparzystych.
Cyfrę dziesiątek możemy wybrać na różne sposoby, ponieważ wybieramy ją z cyfr parzystych.
Pozostałe cyfry możemy wybrać na sposobów. Zatem otrzymujemy liczb.
Odpowiedź: Możemy zapisać liczby czterocyfrowych.
b) Cyfrę tysięcy możemy wybrać na różne sposoby, ponieważ wybieramy ją z cyfr nieparzystych ({}).
Cyfrę dziesiątek możemy wybrać na różne sposoby, ponieważ wybieramy ją z cyfr parzystych ({}).
Cyfrę setek możemy wybrać na różne sposoby, ponieważ nie może być ona taka sama jak cyfra tysięcy i setek.
Cyfrę jedności możemy wybrać na różne sposoby, ponieważ musi być ona różna od cyfry tysięcy, setek i dziesiątek.
Komentarze