Reguła mnożenia

Reguła mnożenia

Reguła mnożenia pozwala policzyć liczbę możliwych wyników doświadczenia składającego się z kolejnych etapów. Zobacz na przykładach, jak ustalić liczbę możliwości na każdym etapie i połączyć je w jeden wynik.

Jeżeli doświadczenie możemy podzielić na dwa etapy, pierwszy z nich wykonamy na $n_1$ sposobów, a drugi na $n_2$ sposobów, to stąd całe doświadczenie możemy wykonać na

$n_1 \cdot n_2$ sposobów.

Przykład: Rzucamy dwa razy monetą . Ile jest możliwych wyników tego doświadczenia?

w pierwszym rzucie mamy $2$ możliwości wyniku: { $Reszka, Orzeł$ },
w drugim rzucie również mamy $2$ możliwości wyniku: { $Reszka, Orzeł$ }.

Z reguły mnożenia mamy $2 \cdot 2 = 4$ możliwości, co łatwo zobaczyć: { $R, R$ }, { $O, R$ }, { $R, O$ }, { $O, O$ }.

Analogicznie jest dla większej ilości etapów i sposobów wykonania np. jeśli $n_1, n_2, n_3, n_4,n _5$ to kolejne wyniki $5$ - etapowego doświadczenia, to całą czynność wykonamy na $n_1 \cdot n_2\cdot n_3\cdot n_4\cdot n _5$

Przykład: Zbiór zasobów bibliotecznych uporządkowano przypisując każdej książce symbol postaci AALLLLA, gdzie A oznacza literę z $24$ - znakowego alfabetu, a L - dowolną cyfrę (np. PW0035M). Ile różnych takich symboli można utworzyć?

I znak symbolu: wybieramy jedną literę z

24

, czyli możemy go wybrać na

24

sposoby.

II znak symbolu: też jest literą - wybieramy na

24

sposoby.

III znak symbolu: wybieramy jedną cyfrę z

10

(tj. {

0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

}), czyli wybieramy go na

10

sposobów.

IV, V, VI znak symbolu: analogicznie do III.

VII znak symbolu: analogicznie do I i II.

$\underbrace{\color{darkgreen}24}_{\color{darkgreen}I} \; \underbrace{\color{darkgreen}24}_{\color{darkgreen}II}\; \underbrace{\color{red}10}_{\color{red}III} \; \underbrace{\color{red}10}_{\color{red}IV} \; \underbrace{\color{red}10}_{\color{red}V} \; \underbrace{\color{red}10}_{\color{red}VI} \; \underbrace{\color{darkgreen}24}_{\color{darkgreen}VII}$

Liczba sposobów, na które można wybrać symbol wynosi:

${\color{darkgreen}24} \cdot {\color{darkgreen}24} \cdot {\color{red}10} \cdot {\color{red}10} \cdot {\color{red}10} \cdot {\color{red}10} \cdot {\color{darkgreen}24}$ $= 24^3 \cdot 10^4$ $= 138240000$

Odpowiedź: Można utworzyć $138240000$ takich symboli.

Przykład: Rzucamy $5$ razy monetą . Ile jest możliwych wyników tego doświadczenia?

W jednym rzucie mamy dwie możliwości wyniku : { $Reszka, Orzeł$ }.

Tak samo w pozostałych czterech etapach.

$\underbrace{2}_{I \; rzut} \qquad \underbrace{2}_{II \,rzut} \qquad \underbrace{2}_{III \, rzut} \qquad \underbrace{2}_{IV \, rzut} \qquad \underbrace{2}_{V \, rzut}$

Stosując regułę mnożenia otrzymujemy $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 = 32$ różnych możliwych wyników tego doświadczenia.

Przykład: Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od $5$ ?

\underbrace{\color{darkgreen}{liczba \; dziesiątek}^{}} \qquad\underbrace{\color{red}{liczba \; jedności}}^{}

wszystkie cyfry mniejsze od

5

to:

\\

{

0, 1, 2, 3, 4

}

dla liczby dziesiątek mamy $4$ możliwości (odrzucamy $0$ , nasza liczba nie może zaczynać się od zera),
dla liczby jedności mamy wszystkie $5$ możliwości.

Z reguły mnożenia mamy $4 \cdot 5 = 20$ różnych liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od $5$ .

Przykład: Hasło do poczty składa się z $4$ cyfr i $3$ liter tylko samogłosek, ile różnych haseł możemy ułożyć, jeżeli:

a) litery są na $3$ , $4$ i $7$ miejscu,

b) hasło zaczyna się i kończy literą,

mając do dyspozycji $6$ samogłosek i $10$ cyfr, cyfry i litery mogą się powtarzać.

a) Na pierwszym, drugim, piątym i szóstym miejscu, stoją cyfry, czyli możemy je wybrać na 10 różnych sposobów, zatem mamy: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4$ .

Na trzecim, czwartym i siódmym miejscu stoją litery, czyli możemy je wybrać na 6 różnych sposobów, zatem mamy $6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3$ .

Otrzymaliśmy: $10^4 \cdot 6^3 = 10216$

Odpowiedź: Możemy ułożyć 10216 różnych haseł.

b) Na pierwszym i siódmym miejscu ma stać cyfra czyli, możemy wybrać je na $10$ różnych sposobów, zatem mamy: $6 \cdot 6 = 36$ .

A na pozostały miejscach może stać albo cyfra albo litery, zatem możemy wybrać je na $16$ sposobów, czyli $16 \cdot 16 \cdot· 16 \cdot 16 \cdot 16 = 16^5$ .

Zatem otrzymaliśmy: $36 \cdot 16^5$ .

Odpowiedź: Możemy ułożyć $36 \cdot 16^5$ haseł.

Przykład: W dwóch księgarniach można kupić $3$ gatunki książek: kryminał, horror i romans. W pierwszej księgarni mamy: $10$ kryminałów, $7$ horrorów i $6$ romansów; w drugiej: $8$ kryminałów, $13$ horrorów i $44$ romanse. W której księgarni mamy większy wybór zestawu $3$ książek składający się z kryminału, romansu i horroru?

Każdą książkę z zestawu możemy wybrać na tyle sposobów ile jest książek, zatem w pierwszej księgarni zestaw możemy wybrać na $10 \cdot 7 \cdot 6 = 420$ sposobów,

a w drugiej na $8 \cdot 13 \cdot 4 = 416$ sposobów.

Odpowiedź: Większy wybór zestawu mamy w pierwszej księgarni.

Autor: Klaudia Mularczyk

Komentarze

Dodaj komentarz Anuluj odpowiedź