Własności funkcji kwadratowej

1. Dziedzina: $D=\mathbb{R}$

2. Zbiór wartości: (parabola jest uśmiechnięta) $Z_w=<-9,+\mathrm{\infty })$

3. Najmniejsza wartość to $9$ dla argumentu $x=-2$, co możemy zapisać $f(-2)=-9$.

4. Przedziały monotoniczności: funkcja maleje w przedziale $(-\mathrm{\infty },-2)$, a rośnie w przedziale $(-2,+\mathrm{\infty })$.

5. Miejsca zerowe: $x_1=-5$ i $x_2=1$.

6. Wartości dodatnie/ujemne:

funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x\in (-\mathrm{\infty },-5)\cup (1,+\mathrm{\infty })$

funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x\in (-5,1)$

7. Punkt przecięcia z osią $OY$: $P=(0,-5)$

Współczynnik $a=-5<0$, czyli parabola ma ramiona skierowane w dół. Do wyznaczenia przedziałów monotoniczności obliczamy $p=\frac{-b}{2a}$, czyli $x$ - ową współrzędną wierzchołka.

$p=-\frac{-15}{2\cdot -5}$$=-\frac{15}{10}$$=-1,5$, zatem

funkcja rośnie w przedziale $(-\mathrm{\infty },-1,5)$

funkcja maleje w przedziale $(-1,5,+\mathrm{\infty })$

Do wyznaczenia zbioru wartości obliczamy $q$. Można to zrobić ze wzoru $q=\frac{-\mathrm{\Delta }}{4a}$ lub skorzystać z wyznaczonego wcześniej $p$ (bo $f(p)=q$).

$f(-1,5)=-5(-1,5{)}^2-15\cdot (-1,5)+1$$=-11,25+22,5+1$$=12,25=12\frac{1}{4}$

Stąd, i z tego, że $a<0$,

$Z_w=(-\mathrm{\infty },12\frac{1}{4}>$.

Współczynnik $c$ we wzorze wyznacza punkt przecięcia z osią $OY$, zatem odczytujemy, że $c=3$

Odpowiedź: c) $3$.

Zbiór wartości odczytujemy z wykresu $Z_w=(-\mathrm{\infty },9>$.

Zaznaczamy przedział $<-1,2>$ na osi, przenosimy na parabolę i sprawdzamy, gdzie funkcja jest najniżej. Najmniejsza wartość na danym przedziale to $5$ dla $x=-1$.