cyrkiel.info

UCZ SIĘ KROK PO KROKU

Własności funkcji

Wykres funkcji pozwala odczytać jej własności bez wykonywania rozbudowanych obliczeń. Przypomnij sobie znaczenie współrzędnych i zobacz, jak rozpoznawać między innymi dziedzinę, zbiór wartości i miejsca zerowe.

Rzędna i odcięta

Zanim zaczniemy odczytywać wartości funkcji z wykresu przypomnijmy, że:

  • Odcięta - pierwsza współrzędna w prostokątnym układzie współrzędnych. Zwykle oznaczamy ją przez x.
  • Rzędna - druga współrzędna w prostokątnym układzie współrzędnych. Zwykle oznaczamy ją przez y.

 

Odczytywanie własności funkcji z wykresu

Funkcje mają wiele różnych własności, które chcemy określić. Własności, które interesują nas najbardziej, to:

  1. Dziedzina funkcji.
  2. Zbiór wartości funkcji.
  3. Miejsca zerowe funkcji.
  4. Wartość funkcji w zerze.
  5. Przedziały monotoniczności funkcji:
    • Przedziały w których funkcja jest malejąca.
    • Przedziały w których funkcja jest rosnąca.
    • Przedziały w których funkcja jest stała.
  6. Przedziały dla których:
    • f(x)>0/f(x)≥0
    • f(x)<0/f(x)≤0
  7. Wartość minimalna i maksymalna funkcji.

Wyznaczymy teraz powyższe własności dla przykładowej funkcji.

 

  1. Dziedzina, czyli zbiór argumentów funkcji. Odczytujemy ją poprzez zrzutowanie wykresu na oś OX.
  2. Zbiór wartości,czyli zbiór wszystkich wartości funkcji dla rozpatrywanej dziedziny. Odczytujemy go poprzez zrzutowanie na oś OY.
  3. Miejsca zerowe funkcji, czyli te argumenty dla których funkcja przyjmuje wartość 0, zwyczajowo oznaczamy je przez x0. Na wykresie jest to punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OX. Dla tej funkcji miejsca zerowe to x01=1,5 oraz x02=4.
  4. Punkt przecięcia z osią OY, czyli f(0). W tym przypadku f(0)=−1.
  5. Przedziały monotoniczności funkcji odczytujemy z osi OX. Badamy je zadając sobie odpowiednio pytania:
    • Malejąca: Dla jakich przedziałów wzrostowi argumentów towarzyszy spadek wartości funkcji?
    • Rosnąca: Dla jakich przedziałów wzrostowi argumentów towarzyszy wzrost wartości funkcji?
    • Stała: Dla jakich przedziałów wzrostowi argumentów towarzyszy utrzymywanie się stałej wartości funkcji?

    Przedziały monotoniczności tej funkcji, to:

    • f :⇔x∈(3,5)
    • f :⇔(x∈(−3,−2)∨x∈(1,2))
    • f→:⇔(x∈(−2,1)∨x∈(2,3))
    Czasem przedziały monotoniczności funkcji oznacza się przedziałami domkniętymi, tutaj jednak będziemy używać przedziałów otwartych.
  6. Przedziały mówiące nam o tym, czy f(x)>0(f(0)≥), czy f(x)<0(f(0)≤) również odczytujemy z osi OX.
    • To kiedy f(x)>0(f(0)≥) odczytujemy zadając sobie pytanie: "Dla jakich argumentów funkcja znajduje się nad(lub pokrywa się z) osią OX?".
    • To kiedy f(x)<0(f(0)≤) odczytujemy zadając sobie pytanie: "Dla jakich argumentów funkcja znajduje się pod(lub pokrywa się z) osią OX?".

    Dla powyższej funkcji mamy:

    • f(x)>0⇔x∈(1,5;4)
    • f(x)≥0⇔x∈⟨1,5;4⟩
    • f(x)<0⇔x∈⟨−3;1,5)∪(4,5)
    • f(x)≤0⇔x∈⟨−3;1,5⟩∪⟨4,5)
  7. Wartość minimalna i maksymalna to odpowiednio wartość najmniejsza i największa wartość ze zbioru wartości.
    Gdy zbiór wartości jest przedziałem otwartym przy wartości najmniejszej(największej), to minimum(maksimum) nie istnieje

    Dla tej funkcji mamy:

    • minimum: f(x)min - nie istnieje
    • maksimum: f(x)max=1

Więcej przykładów:

  1. Dziedzina: ⟨−4,4⟩
  2. ZW: ⟨−2,2⟩
  3. x01=−3x02=−1,5x03=0
  4. f(0)=0
    • f :⇔x∈(−2,5;−0,5)
    • f :⇔(x∈(−4;−2,5)∨x∈(−2,5;4))
    • f(x)>0⇔x∈(−3;−1,5)∪(0,4⟩
    • f(x)≥0⇔x∈⟨−3;−1,5⟩∪⟨0,4⟩
    • f(x)<0⇔x∈⟨−4,−3)∪(−1,5;0)
    • f(x)≤0⇔x∈⟨−4,−3⟩∪⟨−1,5;0⟩
    • f(x)min=−2
    • f(x)max=2
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.

Odczytaj z rysunku i zapisz:

  • zbiór wartości funkcji f,
  • przedział maksymalnej długości w której funkcja jest rosnąca.
Odpowiedź: Odczytując z rysunku mamy, że: zbiór wartości tej funkcji to przedział ⟨−1,3⟩, a przedział maksymalnej długości w której funkcja f jest rosnąca, to (−1,1).

Autor: Tobiasz Tomaszewski

Komentarze

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *