Współczynnik determinacji

Współczynnik determinacji (zbieżności) liniowej $R^{2}$ ocenia jak dobrze model regresji jest dopasowany do danych.

Inaczej: współczynnik determinacji określa procent zmienności zmiennej objaśnianej, który może być wyjaśniany za pomocą zmiennej objaśniającej w modelu regresji.

Współczynnik ten nazywany też jest współczynnikiem $R^{2}$ , gdyż najprościej policzyć współczynnik korelacji $r$ a następnie podnieść go do kwadratu.
Współczynnik $R^{2}$ przyjmuje wartości z przedziału [0,1].

Przykład:
Oblicz

R^{2}

osoba	$y_{i}$	$x_{i}$
A	0,1	0,5
B	0,93	1,0
C	0,8	1,5
D	1,3	1,5
E	1,0	2,0
F	1,5	2,0

Wiemy z przykładu, że:

\overline{x} \approx 1,4

\overline{y} \approx 0,9

Tworzymy tabelkę:

osoba	$y_{i}$	$x_{i}$	$x_{i} - \overline{x}$	$y_{i} - \overline{y}$	$\left(x_{i} - \overline{x}\right) \left(y_{i} - \overline{y}\right)$	$\left(x_{i} - \overline{x}\right)^{2}$	$\left(y_{i} - \overline{y}\right)^{2}$
A	0,1	0,5	-0,9	-0,8	0,72	0,81	0,64
B	0,93	1,0	-0,4	0,0	0,00	0,16	0,00
C	0,8	1,5	0,1	-0,1	-0,01	0,01	0,01
D	1,3	1,5	0,1	0,4	0,04	0,01	0,16
E	1,0	2,0	0,6	0,1	0,06	0,36	0,01
F	1,5	2,0	0,6	0,6	0,36	0,36	0,36
$\sum$	5,6	8,5			1,17	1,71	1,18

Zatem:
$r = \frac{\sum_i\left(x_{i}-\overline{x}\right)\left(y_{i}-\overline{y}\right)}{\sqrt{\sum_i\left(x_{i}-\overline{x}\right)^{2}}\sqrt{\sum_i\left(y_{i}-\overline{y}\right)^{2}}}$ $= \frac{1,17}{\sqrt{1,71} \cdot \sqrt{1,18}} \approx 0,8237$

Stąd do policzenia współczynnika determinacji wystarczy podnieść r do kwadratu:
$r^{2}= 0,8237^{2} \approx 0,6784$

Interpretacja współczynnika determinacji liniowej

Wartość $R^{2}$	Interpretacja
0,0-0,5	dopasowanie niezadowalające
0,5-0,6	dopasowanie słabe
0,6-0,8	dopasowanie zadowalające
0,8-0,9	dopasowanie dobre
0,9-1,0	dopasowanie bardzo dobre

W przykładzie wyżej $R^{2} = 0,68$ co oznacza, że dopasowanie modelu regresji jest zadowalające - $68\%$ zmienności zmiennej objaśnianej jest wyjaśniana za pomocą zmiennej objaśniającej.

Przykład:
Wyznaczyć linię regresji. Ocenić dopasowanie modelu regresji do danych. Czy w tym modelu na miesięczne wydatki na prasę wpływają mocniej miesięczne dochody czy inne czynniki?

Miesięczne dochody (w tys. zł)	Miesięczne wydatki na prasę (w zł)
1	30
2	30
3	40
4	50
5	50

Zaczniemy od tabelki, z której policzymy współczynnik $R$ , potem $R^{2}$ i parametry prostej regresji:

$x_{i}$	$y_{i}$	$x_{i} - \overline{x}$	$y_{i} - \overline{y}$	$\left(x_{i} - \overline{x}\right)^{2}$	$\left(y_{i} - \overline{y}\right)^{2}$	$\left(x_{i} - \overline{x}\right) \left(y_{i} - \overline{y}\right)$
1	30	-2	-10	4	100	20
2	30	-1	-10	1	100	10
3	40	0	0	0	0	0
4	50	1	10	1	100	10
5	50	2	10	4	100	20

gdzie:
$\overline{x} = \frac{0+2+1+4+1}{5} = \frac{8}{5} = 1,6$ $\overline{y} = \frac{1+2+3+6+2}{5} = \frac{14}{5} = 2,8$
Sumując trzy ostanie kolumny mamy:

$\sum_{i} \left(x_{i} - \overline{x}\right)^{2} = 4+1+0+1+4$ $= 10$
$\sum_{i} \left(y_{i} - \overline{y}\right)^{2} = 100+100+0+100$ $+100 = 400$
$\sum_{i} \left(x_{i} - \overline{x}\right) \left(y_{i} - \overline{y}\right) = 20+10+10$ $+20 = 60$

Zatem korzystając ze wzoru na współczynnik korelacji Pearsona:

r=\frac{\sum \left(x_{i} - \overline{x}\right) \left(y_{i} - \overline{y}\right)}{\sqrt{\sum \left(x_{i} - \overline{x}\right)^{2} \cdot \left(y_{i} - \overline{y}\right)}} = \frac{60}{\sqrt{400 \cdot 10}} \approx 0,9487

Obliczamy współczynnik determinacji:
$R^{2} = 0.9487^{2} = 0.9$

Interpretacja: Współczynnik R kwadrat (współczynnik determinacji) wynosi 0.9, co oznacza bardzo dobre dopasowanie modelu regresji.

W tym modelu na średnie wydatki na prasę wpływają średnie zarobki w 90%.
Można więc powiedzieć, że średnie zarobki wpływają silniej na wydatki na prasę niż inne czynniki.

W końcu wyznaczymy prostą regresji $y=ax+b$ .
$a = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(x_{i} - \overline{x} \right)\left(y_{i} - \overline{y} \right)}{\sum_{i=1}^{n} \left(x_{i} - \overline{x}\right)^{2}} = \frac{60}{10} = 6$
$b = \overline{y} - a\overline{x} = 40 - 6 \cdot 3 = 22$

Stąd:
$y = 6x + 22$

Autor: Martyna Szczygieł

Interpretacja współczynnika determinacji liniowej

Komentarze

Dodaj komentarz Anuluj odpowiedź