Mało kto wie, że wzory skróconego mnożenia można zapisać graficznie np. tak jak na rysunkua i b jest równe sumie pól powstałych z podziału tego kwadratu. Tak więc możliwe jest zapisanie następującego wzoru skróconego mnożenia:Wzór matematyczny: nawias otwierający a plus b nawias zamykający do kwadratu równa się a do kwadratu plus 2 razy a razy b plus b do kwadratu. ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ⋅ a ⋅ b + b 2
Kwadrat sumy
Wzór matematyczny: nawias otwierający a plus b nawias zamykający do kwadratu równa się a do kwadratu plus 2 a b plus b do kwadratu. ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 Przykład
Wzór matematyczny: nawias otwierający x plus 4 nawias zamykający do kwadratu równa się x do kwadratu plus 2 razy x razy 4 plus 4 do kwadratu równa się. ( x + 4 ) 2 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 4 + 4 2 = Wzór matematyczny: x do kwadratu plus 8 x plus 16. x 2 + 8 x + 16 Nie popełnij tego błędu
Wzór matematyczny: nawias otwierający a plus b nawias zamykający do kwadratu różne od a do kwadratu plus b do kwadratu. ( a + b ) 2 ≠ a 2 + b 2
Dobrze ten błąd obrazuje przykład:
Wzór matematyczny: nawias otwierający 2 plus 3 nawias zamykający do kwadratu różne od 2 do kwadratu plus 3 do kwadratu. ( 2 + 3 ) 2 ≠ 2 2 + 3 2 Wzór matematyczny: 5 do kwadratu różne od 4 plus 9. 5 2 ≠ 4 + 9 Wzór matematyczny: 25 różne od 11. 25 ≠ 11 Kwadrat różnicy
Wzór matematyczny: nawias otwierający a minus b nawias zamykający do kwadratu równa się a do kwadratu minus 2 a b plus b do kwadratu. ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 Przykład
Wzór matematyczny: nawias otwierający 2 x minus 5 nawias zamykający do kwadratu równa się nawias otwierający 2 x nawias zamykający do kwadratu minus 2 razy 2 x razy 5 plus. ( 2 x − 5 ) 2 = ( 2 x ) 2 − 2 ⋅ 2 x ⋅ 5 + Wzór matematyczny: 5 do kwadratu równa się 4 x do kwadratu minus 20 x plus 25. 5 2 = 4 x 2 − 20 x + 25 Różnica kwadratów
Wzór matematyczny: a do kwadratu minus b do kwadratu równa się nawias otwierający a plus b nawias zamykający nawias otwierający a minus b nawias zamykający. a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) Przykład
Pokazujemy w jaki sposób dochodzimy do wzoru powyżej
Wzór matematyczny: nawias otwierający 4 plus x nawias zamykający nawias otwierający 4 minus x nawias zamykający równa się 16 minus 4 x plus 4 x. ( 4 + x ) ( 4 − x ) = 16 − 4 x + 4 x Wzór matematyczny: minus x do kwadratu równa się 16 minus x do kwadratu równa się 4 do kwadratu minus x do kwadratu. − x 2 = 16 − x 2 = 4 2 − x 2 Sześcian sumy
Wzór matematyczny: nawias otwierający a plus b nawias zamykający do sześcianu równa się a do sześcianu plus 3 a do kwadratu b plus 3 a b do kwadratu plus b do sześcianu. ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 Przykład
Wzór matematyczny: nawias otwierający x plus 3 nawias zamykający do sześcianu równa się x do sześcianu plus 3 razy x do kwadratu razy 3 plus 3 razy x. ( x + 3 ) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ x Wzór matematyczny: razy 3 do kwadratu plus 3 do sześcianu równa się x do sześcianu plus 9 x do kwadratu plus 27 x plus 27. ⋅ 3 2 + 3 3 = x 3 + 9 x 2 + 27 x + 27 Sześcian różnicy
Wzór matematyczny: nawias otwierający a minus b nawias zamykający do sześcianu równa się a do sześcianu minus 3 a do kwadratu b plus 3 a b do kwadratu minus b do sześcianu. ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 Przykład
Wzór matematyczny: nawias otwierający 2 x minus 2 nawias zamykający do sześcianu równa się nawias otwierający 2 x nawias zamykający do sześcianu minus 3 razy nawias otwierający 2 x nawias zamykający do kwadratu. ( 2 x − 2 ) 3 = ( 2 x ) 3 − 3 ⋅ ( 2 x ) 2 Wzór matematyczny: razy 2 plus 3 razy 2 x razy 2 do kwadratu minus 2 do sześcianu równa się 8 x do sześcianu minus. ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 x ⋅ 2 2 − 2 3 = 8 x 3 − Wzór matematyczny: 24 x do kwadratu plus 24 x minus 8. 24 x 2 + 24 x − 8 Suma sześcianów
Wzór matematyczny: a do sześcianu plus b do sześcianu równa się nawias otwierający a plus b nawias zamykający nawias otwierający a do kwadratu minus a b plus b do kwadratu nawias zamykający. a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) Przykład
Wzór matematyczny: x do sześcianu plus 27 równa się x do sześcianu plus 3 do sześcianu równa się nawias otwierający x plus 3 nawias zamykający nawias otwierający x do kwadratu. x 3 + 27 = x 3 + 3 3 = ( x + 3 ) ( x 2 Wzór matematyczny: minus 3 x plus 9 nawias zamykający. − 3 x + 9 ) Różnica sześcianów
Wzór matematyczny: a do sześcianu minus b do sześcianu równa się nawias otwierający a minus b nawias zamykający nawias otwierający a do kwadratu plus a b plus b do kwadratu nawias zamykający. a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) Przykład
Wzór matematyczny: x do sześcianu minus 8 równa się x do sześcianu minus 2 do sześcianu równa się nawias otwierający x minus 2 nawias zamykający nawias otwierający x do kwadratu. x 3 − 8 = x 3 − 2 3 = ( x − 2 ) ( x 2 Wzór matematyczny: plus 2 x plus 4 nawias zamykający. + 2 x + 4 ) Przykład
Wartość wyrażenia
Wzór matematyczny: nawias otwierający b minus a nawias zamykający do kwadratu. ( b − a ) 2 dla
Wzór matematyczny: a równa się 2 pierwiastek kwadratowy z: 3; koniec pierwiastka. a = 2 3 i
Wzór matematyczny: b równa się pierwiastek kwadratowy z: 75; koniec pierwiastka. b = 75 jest równa?
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na
kwadrat różnicy Wzór matematyczny: nawias otwierający b minus a nawias zamykający do kwadratu równa się b do kwadratu minus 2 b a plus a do kwadratu. ( b − a ) 2 = b 2 − 2 b a + a 2 Wzór matematyczny: nawias otwierający pierwiastek kwadratowy z: 75; koniec pierwiastka minus 2 pierwiastek kwadratowy z: 3; koniec pierwiastka nawias zamykający do kwadratu równa się nawias otwierający pierwiastek kwadratowy z: 75; koniec pierwiastka nawias zamykający do kwadratu minus 2 razy. ( 75 − 2 3 ) 2 = ( 75 ) 2 − 2 ⋅ Wzór matematyczny: pierwiastek kwadratowy z: 75; koniec pierwiastka razy 2 pierwiastek kwadratowy z: 3; koniec pierwiastka plus nawias otwierający 2 pierwiastek kwadratowy z: 3; koniec pierwiastka nawias zamykający do kwadratu równa się 75 minus. 75 ⋅ 2 3 + ( 2 3 ) 2 = 75 − Wzór matematyczny: 2 razy 2 pierwiastek kwadratowy z: 75 razy 3; koniec pierwiastka plus 12 równa się 75. 2 ⋅ 2 75 ⋅ 3 + 12 = 75 Wzór matematyczny: minus 4 pierwiastek kwadratowy z: 225; koniec pierwiastka plus 12 równa się 75 minus 4 razy. − 4 225 + 12 = 75 − 4 ⋅ Wzór matematyczny: 15 plus 12 równa się 75 minus 60 plus 12 równa się 27. 15 + 12 = 75 − 60 + 12 = 27 Przykład
Różnica
Wzór matematyczny: 50001 do kwadratu minus 49999 do kwadratu. 50001 2 − 49999 2 jest równa?
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na
różnice kwadratów Wzór matematyczny: a do kwadratu minus b do kwadratu równa się nawias otwierający a plus b nawias zamykający nawias otwierający a minus b nawias zamykający. a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) Wzór matematyczny: 50001 do kwadratu minus 49999 do kwadratu równa się nawias otwierający 50001 plus. 50001 2 − 49999 2 = ( 50001 + Wzór matematyczny: 49999 nawias zamykający nawias otwierający 50001 minus 49999 nawias zamykający równa się. 49999 ) ( 50001 − 49999 ) = Wzór matematyczny: 100000 razy 2 równa się 200000. 100000 ⋅ 2 = 200000 
Komentarze