cyrkiel.info

UCZ SIĘ KROK PO KROKU

Jak narysować wykres funkcji?

Szkicowanie wykresu funkcji

Do narysowania wykresu funkcji wykorzystujemy znane nam jej własności, oraz liczymy jej wartości dla kilku wybranych przez nas argumentów, i umieszczamy je w tabelce. Przy rysunku wykonanym odręcznie im więcej punków umieścimy w tabelce, tym dokładniejszy będzie rysunek. Tutaj podamy kilka konkretnych przykładów funkcji, których wykres jest łatwo narysować.

Jak narysować wykres funkcji liniowej

Funkcja liniowa, czyli funkcja określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie

  • a - współczynnik kierunkowy
  • b - wyraz wolny

Jak wskazuje sama nazwa wykresem funkcji liniowej jest prosta.
Aby narysować wykres funkcji liniowej potrzebujemy znaleźć minimum dwa punkty należące do owego wykresy i przeprowadzić przez nie prostą.

  1. Gdy a≠0
    Wtedy punkty, które znaleźć najłatwiej, to punkt przecięcia z osią OY, czyli punkt (0,b) oraz inny dowolny punkt, który możemy wyliczyć podstawiając x=1 albo inną liczbę, dla której wartość funkcji wartość funkcji będzie łatwo policzyć. Ponadto warto wziąć jeden dodatkowy punkt, na wypadek pomyłki w obliczeniach.

    Przykład: Narysuj wykres funkcji f(x)=2x−4.
    W tym celu policzmy
    f(1)=2⋅1−4=−2
    oraz miejsce zerowe funkcji
    0=2x−4
    2x=4
    x=2
    Ponadto możemy odczytać punkt przecięcia z osią OY, ponieważ b=−4 będzie to punkt (0,−4).
    Zatem nasze szukane punkty, to (1,−2);(2,0);(0,−4).

    x 0 1 2
    f(x) −4 −2 0

    Zauważmy, że punktem, który można łatwo wyznaczyć, jest punkt przecięcia się wykresu funkcji z osią OX. Faktycznie odczytując miejsce zerowe funkcji liniowej z jej postaci ogólnej mamy:
    0=ax+b
    x=−ba
    Zatem punk przecięcia się wykresy funkcji liniowej z osią OX ma zawsze (dla a≠0) współrzędne (−ba,0).
    Należy jednak pamiętać, że w przypadku, gdy b=0 punkt przecięcia się wykresu funkcji z osiami OX oraz OY pokryje się (będzie to punkt (0,0)) więc potrzebne będzie znalezienie kolejnego punktu.
  2. Gdy a=0
    Wtedy wykresem funkcji jest prosta równoległa do osi OX przechodząca przez punkt (0,b).

    Przykład: Narysuj wykres funkcji f(x)=3.
    Odczytujemy, że b=3, ponieważ a=0, więc wykres funkcji jest prostą przechodzącą przez punkt (0,3) równoległą do osi OX, zatem:

Jak narysować wykres funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa, czyli funkcja określona wzorem
f(x)=ax2+bx+c,
gdzie

  • a,b,c - stałe
  • a≠0

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:
f(x)=a(x−p)2+q,
gdzie

  • p=−b2a
  • q=−Δ4a
  • Δ=b2−4ac

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie (p,q), oraz

  • ramionach skierowanych "do góry", gdy a>0.
  • ramionach skierowanych "do dołu", gdy a<0.

Aby narysować wykres funkcji kwadratowej potrzebujemy znaleźć co najmniej 3 punkty należące do wykresu funkcji, w tym wierzchołek funkcji. Przydatne będą również punkty przecięcia z osią OX(o ile istnieją) i punkt przecięcia z osią OY (wyraz wolny - c, lub inaczej wartość funkcji dla x=0, czyli f(0).) Im więcej tych punktów wyznaczymy, np sporządzając tabelkę i podstawiając pod x różne wartości, np.

x

 −3 −2 −1 0 1 2

3

f(x)

 f(−3) f(−2) f(−1) f(0) f(1) f(2)

f(3)

i licząc wartości funkcji tym dokładniejszy będzie nasz wykres.

Parabola jest symetryczna względem prostej równoległej do osi OY przechodzącej przez jej wierzchołek.
Przykład: Narysuj wykres funkcji określonej wzorem f(x)=−x2+2x+3.

Krok1. Wyznaczamy wierzchołek paraboli.W=(p,q)

Δ=b2−4ac=22−4⋅(−1)⋅3=4+12=16

p=−b2a=−2−2=1

q=−Δ4a=−16−4=4

W=(p,q)

Krok 2. Liczymy miejsca zerowe. Ponieważ Δ>0 (co policzyliśmy w poprzednim kroku), to funkcja ma dwa miejsca zerowe.

x1=−b−Δ2a=−2−16−2=−2−4−2=−6−2=3

x2=−b+Δ2a=−2+16−2=−2+4−2=2−2=−1

Krok 3. Wyznaczamy punkt przecięcia z osią OY. Ten punkt ma współrzędne (0,c), czyli w tym przypadku (0,3).

Krok 4. Mamy dużo informacji z poprzednich kroków, więc moglibyśmy pominąć ten krok, ale policzymy jeszcze wartości w pobliżu wierzchołka, żeby otrzymać ładniejszy wykres.

Skoro wierzchołek ma pierwszą współrzędną p=1, to policzmy wartości funkcji dla x=0,x=2 (oddalone o 1 od wierzchołka) oraz dla x=−1,x=3 (oddalone o 2 od wierzchołka) oraz dla x=−2,x=4 (oddalone o 3 od wierzchołka).

f(0)=−02+2⋅0+3=3 Zatem do wykresu należy punkt (0,3) (ten punkt już tak naprawdę mieliśmy, to jest punkt przecięcia z osią OY).

f(2)=−22+2⋅2+3=3 Zatem do wykresu należy punkt (2,3).

f(−1)=−(−1)2+2⋅(−1)+3=0 Zatem do wykresu należy punkt (−1,0) (ten punkt też już mieliśmy, to jest miejsce zerowe x2).

f(3)=−32+2⋅3+3=0 (Otrzymaliśmy drugie miejsce zerowe x_1$.)

f(−2)=−(−2)2+2⋅(−2)+3=−5 Otrzymaliśmy punkt (−2,−5).

f(4)=442+4⋅4+3=−5.

Krok 5. Teraz zaznaczamy wszystko na wykresie i rysujemy parabolę, czyli nasz wykres.

Jak narysować wykres funkcji wykładniczej

Funkcja wykładnicza, czyli funkcja określona wzorem
f(x)=ax,
gdzie

  • a - stała
  • a>0

Wykresem funkcji wykładniczej jest krzywa przechodząca przez punkt (0,1) układu współrzędnych. Krzywa ta w całości znajduje się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych i nigdy nie przecina odi OX, oraz jest:

  • rosnąca, gdy a>1
  • malejąca, gdy a<1
  • stale równa 1, gdy a=1
    Wykładnicza dla a=1

Aby narysować wykres funkcji wykładniczej, najłatwiej jest policzyć wartości funkcji dla kilku argumentów tworząc tabelkę podobną do tej:

x

 −3 −2 −1 0 1 2

3

ax

 (1a)3 (1a)2 1a 1 a a2

a3
Przykład: Narysuj wykres funkcji określonej wzorem f(x)=3x.

Sporządźmy tabelkę:

x

 −3 −2 −1 0 1 2

3

f(x)

 127 19 13 1 3 9

27

Zaznaczmy te punkty w układzie współrzędnych i przeprowadźmy przez nie linię.

Przykład: Narysuj wykres funkcji f(x)=3x+1−2.
Do narysowania wykresu tej funkcji wykorzystamy wiedzę z przykładu powyżej. Wykres naszej funkcji f powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji z poprzedniego przykładu o 1 jednostkę "w lewo" oraz 2 jednostki "w dół", czyli przez przesunięcie o wektor [−1,−2]. Stąd otrzymujemy:

Autor: Tobiasz Tomaszewski

Komentarze

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *