Wariancja - szereg rozdzielczy - rozwiązania krok po kroku ✎ Cyrkiel.info

Wariancja – szereg rozdzielczy

Wariancja opisuje zróżnicowanie danych wokół średniej, ale w szeregu przedziałowym obliczenia opierają się na środkach klas. Poznaj dwa sposoby jej wyznaczania: z wykorzystaniem liczebności lub częstości przedziałów.

Oznaczmy środek przedziału jako

\dot{X_i} = \frac{X_p+X_k}{2}

, gdzie:

X_p

- początek przedziału,

X_k

- koniec przedziału.

Wariancję w szeregu przedziałowym można wyliczać na dwa sposoby

1. Korzystając z ilości

n_i

VarX = \frac{1}{n}\cdot\sum (\dot{X}_i -\overline{X})^2 \cdot n_i

2. Korzystając z częstości

\omega_i

VarX = \sum (\dot{X}_i -\overline{X})^2 \cdot \omega_i

Gdzie:

\bf n

– ilość obserwacji

\bf n_i

– liczebność i-tego przedziału

\bf\omega_i

– częstość obserwacji i-tego przedziału

\bf\dot{X}_i

– wartość środkowa i-tego przedziału

\bf\overline{X}

– średnia z wszystkich przedziałów

Przykłady

Przykład 1. W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz na dwa sposoby wariancję.

Wartość	Ilość
1000-3000	2
3000-5000	3
5000-7000	10
7000-9000	7
9000-11000	1

Ilość obserwacji wynosi:

n = 25

, a średnia

\overline{X}_i = 6175,91

.
Najpierw dla każdego przedziału policzymy wartość środkową

\dot{X}_i

\dot{X}_i- \overline{X}

oraz

(\dot{X}_i -\overline{X})^2

. :

Wartość $X_{i}$	Ilość $n_{i}$	Wartość środkowa $\dot{X}_{i}$	$\dot{X}_{i} -\overline{X}$	$(\dot{X}_{i} -\overline{X})^{2}$
1000-3000	2	$\frac{1000+3000}{2}$ =2000	2000-6173.91 = -4173.91	(-4173.91) $^2$ = 17421524.69
3000-5000	3	4000	-2173.91	4725884.69
5000-7000	10	6000	-173.91	30244.69
7000-9000	7	8000	1826.09	3334604.69
9000-11000	1	10000	3826.09	14638964,69

Policzmy wariancję korzystając z ilości $n_i$

Wypiszmy potrzebne nam dane do tabeli

Wartość $X_{i}$	Ilość $n_{i}$	$\dot{X}_{i} -\overline{X}$	$(\dot{X}_{i} -\overline{X})^{2}$	$(\dot{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot n_{i}$
1000-3000	2	-4173.91	17421524.69	34843049,38
3000-5000	3	-2173.91	4725884.69	14177654,06
5000-7000	10	-173.91	30244.69	302446,88
7000-9000	7	1826.09	3334604.69	23342232,82
9000-11000	1	3826.09	14638964,69	14638964,69
			Suma	87304347,83

Zliczmy wartości z ostatniej kolumny tabeli:

$\bf\sum (\dot{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot n_{i}$ $= 87304347,83$

Teraz możemy skorzystać ze wzoru tzn.

$VarX = \frac{1}{n}\sum (\dot{X}_i -\overline{X})^2 \cdot n_i$

zatem:

$VarX = \frac{1}{23}\cdot 87304347,83$ $= 3795841,21 zł$

a odchylenie standardowe wynosi:

$\sigma = \sqrt{VarX} = \sqrt{3795841,21}$ $= 1948,29 zł$

Policzmy wariancję korzystając z częstości $\omega_i$ .

Tak jak wcześniej przygotujmy tabelę:

Wartość $X_{i}$	Ilość $\omega_{i}$	$\dot{X}_{i} -\overline{X}$	$(\dot{X}_{i} -\overline{X})^{2}$	$(\dot{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i}$
1000-3000	$\frac{2}{23}$	-4173.91	17421524.69	$\frac{2}{23} \cdot 17421524.69$ =1514915,19
3000-5000	$\frac{3}{23}$	-2173.91	4725884.69	616419,74
5000-7000	$\frac{10}{23}$	-173.91	30244.69	13149,86
7000-9000	$\frac{7}{23}$	1826.09	3334604.69	1014879,69
9000-11000	$\frac{1}{23}$	3826.09	14638964,69	636476,73
			Suma	3795841,21

Zliczmy wartości z ostatniej kolumny tabeli:

$\bf\sum (\dot{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i}$ $= 3795841,21$

Czyli zgodnie ze wzorem

$VarX = \sum (\dot{X}_i -\overline{X})^2 \cdot \omega_i$

mamy:

$VarX = 3795841,21 zł$

a odchylenie standardowe wynosi:

$\sigma = \sqrt{VarX} = \sqrt{3795841,21}$ $= 1948,29 zł$

Autor: Patryk Ciesielski

Wariancja – szereg rozdzielczy

Wariancję w szeregu przedziałowym można wyliczać na dwa sposoby

Przykłady

Policzmy wariancję korzystając z ilości $n_i$

Policzmy wariancję korzystając z częstości $\omega_i$ .

Komentarze

Dodaj komentarz Anuluj odpowiedź

Wariancja – szereg rozdzielczy

Wariancję w szeregu przedziałowym można wyliczać na dwa sposoby

Przykłady

Policzmy wariancję korzystając z ilości Wzór matematyczny: n z indeksem dolnym: i; koniec indeksu.ni

Policzmy wariancję korzystając z częstości Wzór matematyczny: omega z indeksem dolnym: i; koniec indeksu.ωi.

Komentarze

Dodaj komentarz Anuluj odpowiedź

Policzmy wariancję korzystając z ilości $n_i$

Policzmy wariancję korzystając z częstości $\omega_i$ .