Wartości funkcji trygonometrycznych LICEUM ✎ Cyrkiel.info

Wartości funkcji trygonometrycznych

Znajomość wartości funkcji trygonometrycznych dla charakterystycznych kątów ułatwia rozwiązywanie wielu zadań. Skorzystaj z tabeli sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, a następnie przećwicz odczytywanie wartości w części interaktywnej.

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów $0°$ , $30°$ , $45°$ , $60°$ , $90°$ wynoszą:

$α$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$sinα$	$0$	$\frac 12$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$1$
$cosα$	$1$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac 12$	$0$
$tgα$	$0$	$\frac{\sqrt3}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$1$
$ctgα$	nie istnieje	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt3}{3}$	nie istnieje

Uwaga: Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne - CKE strona 15.

Przykład: Oblicz długość boku $x$ .

a) Korzystamy z cosinusa:

cos45° = \frac{x}{4}

\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{x}{4}

Wymnażamy “na krzyż”:

2x = 4\sqrt{2}

x = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 4

= 2\sqrt{2}

b) Korzystamy z tangensa:

tg60° = \frac{\sqrt{3}}{x}

\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{x}

\sqrt{3}x = 3\sqrt{3}\hspace{0,5cm}|:\sqrt{3}

x = 3

c) Korzystamy z sinusa:

sin30° = \frac{8}{x}

\frac 12 = \frac{8}{x}

x = 16

Przykład: Oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa ma długość $4$ , a ramię długości $6$ tworzy z dłuższą podstawą kąt $30°$ .

Zaznaczamy dane na rysunku:

Musimy znaleźć długość odcinków $x$ oraz wysokości $h$ . Możemy “wyjąć” trójkąt z trapeza.

Korzystając z tego, że $sin30° = \frac 12$ obliczamy

$sin30° = \frac{h}{6}$

$\frac 12 = \frac h6$

Wymnażamy “na krzyż”

$2h = 6$

$h = 3$

Na tym etapie $x$ możesz wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa lub wiedząc, że

$cos30° = \frac{x}{6}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{6}$

Wymnażamy “na krzyż”

$2x = 6\sqrt{3}$

$x = 3\sqrt{3}$

Obliczamy pole i obwód trapezu:

wysokość: $h = 3$
długość krótszej podstawy: $a = 4$
długość dłuższej podstawy: $b = 4 + 2x$ $= 4 + 2\sqrt{3}$ $= 4 + 6\sqrt{3}$
długość ramienia: $c = 6$

$P = \frac 12 \cdot (a + b) \cdot h$ $= \frac 12 \cdot (4 + 4 + 6\sqrt{3}) \cdot 3$ $= \frac{3}{2}\cdot(8+6\sqrt{3})=\frac{24+18\sqrt{3}}{2}$ $= 12 + 9\sqrt{3}$

Obwód trapezu:

$L = a + b + 2\cdot c$ $= 4 + 4 + 6\sqrt{3} + 2 \cdot 6$ $= 8 + 6 \sqrt{3} + 12$ $= 20 + 6\sqrt{3}$

Odpowiedź: Pole trapezu wynosi

12 + 9\sqrt{3}

, zaś obwód

20 + 6\sqrt{3}

Przykład: Przekątna prostokąta ma długość $4$ i tworzy z dłuższym bokiem kąt $60°$ . Oblicz obwód i pole prostokąta.

Z sinusa i cosinusa wyliczamy brakujące długości:

$sin60° = \frac{b}{4}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac {b}{4}$

$4\sqrt 3 = 2b$

$b = 2\sqrt{3}$

$cos60° = \frac{a}{4}$

$\frac 12 = \frac{a}{4}$

$2a = 4$

$a = 2$

(Tu ponownie można zastosować twierdzenia Pitagorasa znając już jeden bok.)

$P = a \cdot b$ $= 2 \cdot 2\sqrt{3}$ $= 4\sqrt{3}$

$L = 2a + 2b$ $= 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2\sqrt{3}$ $= 4 + 4\sqrt{3}$

Odpowiedź: Pole prostokąta wynosi $4\sqrt{3}$ , zaś obwód $4 + 4\sqrt{3}$ .

Przykład: Obwód trójkąta, przedstawionego na rysunku, jest równy:

a) $(3 + \frac{\sqrt{3}}{2})a$

b) $(2 + \frac{\sqrt{2}}{2})a$

c) $(3 + \sqrt{3})a$

d) $(2 + \sqrt{2})a$

Musimy uzależnić długości ΙABΙ i ΙACΙ względem $a$ . Z sinusa wyliczamy ΙACΙ:

$sin30° = \frac{a}{\left|AC\right|}$

$\frac 12 = \frac{a}{\left|AC\right|}$

$\left|AC\right| = 2a$

Z cosinusa wyznaczamy ΙABΙ:

$cos30° = \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}$

$2\sqrt{3}a = 2\left|AB\right|\hspace{0,5cm}|: 2$

$\left|AB\right| = \sqrt{3}a$

Otrzymujemy obwód:

$L = a + \sqrt{3}a + 2a$ $= 3a + \sqrt{3}a$

Wyciągamy $a$ przed nawias: $L = a(3 + \sqrt{3})$

Odpowiedź: Obwód tego trójkąta wynosi $L = a(3 + \sqrt{3})$ - zatem odpowiedź c).

Wartości funkcji trygonometrycznych – interaktywnie

Mamy 2 widgety dotyczące wartości funkcji trygonometrycznych.

1) W pierwszym zadaniu mamy podaną funkcję trygonometryczną dla określonego kąta. Zaznacz jaką wartość przyjmuje ta funkcja (wartości możesz odczytać z tabeli, która znajduje się poniżej).

2) Zaś w drugim zadaniu oblicz wartość wyrażenia złożonego z funkcji trygonometrycznych.
a) Najpierw odczytaj z tabeli wartości, jakie przyjmują poszczególne funkcje.
b) Następnie wykonaj działania, jakie zachodzą między nimi.