Wariacje z powtórzeniami

Wariacje z powtórzeniami pozwalają policzyć uporządkowane wyniki wyboru, gdy ten sam element może pojawić się wielokrotnie. Zobacz, jak wykorzystać wzór oparty na potędze i odróżnić ten przypadek od wyboru bez powtórzeń.

Liczba sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa $\Large{n^k}$

Jest to wzór na wariacje z powtórzeniami.

W zadaniach z wariacji z powtórzeniami:

1) istotna jest kolejność, czyli np. tworząc dwuelementowe zbiory z liter $a, b, c$ zbiory { $a, b$ }, { $b,a$ } są różnymi zbiorami,

2) wybieramy $k$ - razy z zwracaniem z $n$ - elementowego zbioru - elementy mogą się powtarzać (w definicji “niekoniecznie różne wyrazy”), np. { $a, a$ }, { $b,b$ }.

Przykład: Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie występują tylko cyfry $1, 3, 5, 7, 8$ oraz cyfry mogą się powtarzać?

Mamy zbiór składający się z $n = 5$ cyfr.

Układamy $k = 3$ - wyrazowe liczby, w których cyfry mogą się powtarzać (tj. np. $135, 111, 355$ itd.).

Ze wzoru na wariacje z powtórzeniami mamy:

$n^k$ $= 5^3$ $= 125$

Odpowiedź: Możemy ułożyć $125$ liczb trzycyfrowych.

Przykład: Numery pewnej serii dowodów osobistych składają się z trzech liter i z sześciu następujących po nich cyfr. Oblicz, ile może być dowodów z takimi numerami, jeżeli jedyne występujące litery to $A, P, R$ (mogą się powtarzać) oraz cyfry również mogą się powtarzać.

Krok 1: Kombinacje liter

Mamy do wyboru zbiór trzech liter { $A, P, R$ }, czyli $n = 3$ . Litery ustawiamy na $k = 3$ miejscach.

Ze wzoru mamy $3^3$ $= 27$ możliwych kombinacji liter.

Krok 2: Kombinacja cyfr

Wybieramy elementy ze zbioru $n = 10$ cyfr ({ $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ }).

Musimy zapełnić $k = 6$ miejsc na cyfry, które mogą się powtarzać. Ze wzoru na wariacje z powtórzeniami otrzymujemy $n^k = 10^6$ możliwych ustawień cyfr.

Krok 3: Aby zliczyć wszystkie możliwości korzystamy z reguły mnożenia, czyli wszystkich numerów dowodów może być

$3^3 \cdot 10^6 = 27 \cdot 10^6$ .

Przykład: Na ile sposobów może opuścić windę $6$ osób, jeżeli budynek składa się z $10$ pięter?

Mamy $6$ i $10$ pięter.

Ludzie mogą wysiadać dowolnie, np. wszyscy na I piętrze, $3$ osoby na II piętrze, $2$ osoby na IV i 1 na IX piętrze, itd.

Ze zbioru $n = 10$ pięter wybieramy piętro dla każdej z $k = 6$ osób. Z wariacji z powtórzeniami jest $n^k = 10^6$ możliwych wysiadek z windy.

Uwaga: Instynktownie można przedstawić to tak:

$\underbrace{10}_{}$ $\qquad$ $\underbrace{10}_{}$ $\qquad$ $\underbrace{10}_{}$ $\qquad$ $\underbrace{10}_{}$ $\qquad$ $\underbrace{10}_{}$ $\qquad$ $\underbrace{10}_{}$

pierwsza może wysiąść na $10$ możliwych piętrach,
druga osoba również może wysiąść na którymś z $10$ pięter,
trzecia, czwarta, piąta i szósta - analogicznie.

Z reguły mnożenia otrzymujemy $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^6$ .

Autor: Klaudia Mularczyk

Komentarze

Dodaj komentarz Anuluj odpowiedź