Współczynnik korelacji rang Spearmana

Współczynnik korelacji rang Spearmana pozwala badać zależność między zmiennymi na podstawie uporządkowania obserwacji. Zobacz, jak nadawać rangi, obliczać współczynnik, interpretować wynik i sprawdzać jego istotność.

Współczynnik korelacji rang Spearmana (RHO Spearmana) wykorzystywany jest do opisu siły korelacji dwóch cech, w przypadku gdy:

cechy mają charakter jakościowy, pozwalający na uporządkowanie ze względu na siłę tej cechy,
cechy mają charakter ilościowy, ale ich liczebność jest niewielka.

Wzór na współczynnik korelacji rang Spearmana

$\huge{r_{s} = 1 - \frac{6 \sum_{i=1}^{n} d_{i}^{2}}{n \ \left(n^{2} - 1\right)}}$ ,
gdzie:
$d_{i}^{2}$ - kwadraty różnic pomiędzy rangami odpowiadających sobie wartości cech $x_{i}$ i $y_{i}$ .
$n$ - liczba par danych (liczba wierszy w tabeli).

Czym są rangi Spearmana?

Nadajemy cechom X i Y rangi (1- dla największej wartości X, 2 dla drugiej największej wartości X itd. I analogicznie dla Y).

Inaczej mówiąc, przyporządkujemy rangi cech X i Y malejąco.

Jeżeli któreś jednostki cechy mają taką samą wartość, to jednostkom tym przypisuje się identyczne rangi, licząc średnią arytmetyczną z rang dla tych samych jednostek.

Przykład 1.
Chcemy obliczyć korelację Spearmana pomiędzy ocenami z testu z matematyki i angielskiego:

Angielski	Matematyka
56	66
75	70
45	40
71	60
61	65
64	56
58	59
80	77
76	67
61	63

Niech Angielski będzie cechą X oraz niech Matematyka będzie cechą Y.
Uporządkujmy teraz cechy X i Y malejąco, tj.:

X \rightarrow 80,76,75,71,64,61,

61,58,56,45

Y \rightarrow 77,70,67,66,65,63,60,

59,56,40

.
Tworzymy tabelkę z 2 nowymi kolumnami - rangami dla X i Y:

Cecha X	Cecha Y	$d_{x}$	$d_{y}$
56	66	9	4
75	70	3	2
45	40	10	10
71	60	4	7
61	65	(6+7)/2=6.5	5
64	56	5	9
58	59	8	8
80	77	1	1
76	67	2	3
61	63	(6+7)/2=6.5	6

gdzie $d_{x}$ i $d_{y}$ to są rangi dla cech X i Y.
Uwaga:
Widzimy, że 2 jednostki mają ocenę 61 (na pozycji 6 i 7), więc:
$ś = \frac{6+7}{2} = \frac{13}{2} = 6,5$ .
więc nadamy im rangi 6.5 i 6.5.
Następnie obliczamy różnice i kwadraty różnic dla wyznaczonych rang, tzn.:

Cecha X	Cecha Y	$d_{x}$	$d_{y}$	$d_{x} - d_{y}$	$(d_{x} - d_{y})^{2}$
56	66	9	4	5	25
75	70	3	2	1	1
45	40	10	10	0	0
71	60	4	7	-3	9
61	65	6.5	5	1.5	2.25
64	56	5	9	-4	16
58	59	8	8	0	0
80	77	1	1	0	0
76	67	2	3	-1	1
61	63	6.5	6	0.5	0.25

Zostało nam to policzenia suma kwadratów różnic rang. Zatem:
$\sum (d_{x} - d_{y})^{2} = 25+1+9+$ $2.25+16+0+0+1+$ $0.25 = 54.5$
Wobec tego:
$r_{s} = 1 - \frac{6 \cdot 54.5}{10 \ \left(10^{2} - 1\right)}$ $= 1 - \frac{327}{990} = 1 - \frac{109}{330} = \frac{221}{330} \approx 0,67$
Odpowiedź: Współczynnik rho wynosi 0,67 co oznacza korelację wysoką.

Intrepretacja współczynnika korelacji rang Spearmana

$r_{s}$	interpetacja
poniżej 0,2	korelacja słaba (praktycznie brak związku)
0,2-0,4	korelacja niska (zależność wyraźna)
0,4-0,6	korelacja umiarkowana (zależność istotna)
0,6-0,8	korelacja wysoka (zależność znaczna)
0,8-0,9	korelacja bardzo wysoka (zależność bardzo duża)
0,9-1,0	zależność praktycznie pełna

Korelacja rang Spearmana a korelacja Pearsona

Korelacja rang Spearmana bada związki monotonicze (wykres 1 i 2), w przeciwieństwie do korelacji Pearsona, które bada związki liniowe (jedynie wykres 1)

Przykład 2.

Widzimy wykres rozrzutu zmiennej, gdzie relacja nie jest liniowa, tylko "pofalowana". Współczynnik korelacji Pearsona wyniesie 0.88 a Spearmana 1.

Źrodło: wikipedia.org

Oznacza to, że wartości odstające nie zaburzają korelacji Spearmana tak jak w przypadku korelacji Pearsona.

Przykład 3.

Widzimy wykres rozrzutu zmiennej, gdzie mamy po prawej stronie wartości odstające. Współczynnik korelacji Pearsona wyniesie 0.67 a Spearmana 0.843.

Źrodło: wikipedia.org

Istotność korelacji Spearmana

Skąd mamy wiedzieć czy obliczony współczynnik korelacji mamy traktować “na serio”?

Co świadczy “lepiej” o istniejącej korelacji? Współczynnik korelacji równy 0.4 dla 50 par zmiennych czy równy 0.5 dla 5 par zmiennych?

Możemy sprawdzić “wiarygodność” obliczonego współczynnika dla korelacji Spearmana i korelacji Pearsona korzystając z testu istotności korelacji .
Wtedy możemy z pewnym przyjętym prawdopodobieństwem stwierdzić czy korelacja jest istotna statystycznie.

Typowy przykład

Sędziowie przyznali 10 zawodnikom następujące noty na turnieju tańca solo:

Zawodnik	Ocena sędziego 1	Ocena sędziego 2
1	5	7
2	9	8
3	3	6
4	8	7
5	6	8
6	7	5
7	4	10
8	8	6
9	4	5
10	6	8

Oblicz jak silnie skorelowane są oceny sędziów 1 i 2.

Niech X będzie sędzią 1, a Y to sędzia 2.
Uporządkujmy oceny sędziów malejąco, tj.:

x \rightarrow 9,8,8,7,6,6,5,4,4,3

y \rightarrow 10,8,8,8,7,7,6,6,5,5

.Przydzielamy rangi:

Zawodnik	X	Y	Ranga X	Ranga Y
1	5	7	7	5.5
2	9	8	1	3
3	3	6	10	7.5
4	8	7	2.5	5.5
5	6	8	5.5	3
6	7	5	4	9.5
7	4	10	8.5	1
8	8	6	2.5	7.5
9	4	5	8.5	9.5
10	6	8	5.5	3

Rangi X:
Zawodnik 2. dostał notę 9 od sędziego 1, więc dostaje rangę 1.
Zawodnik 3. i 8. dostali oboje 8, więc dostają rangę $\frac{2+3}{2} = 2.5$
Analogicznie przydzielamy rangi Y.

Dalej obliczamy różnice i ich kwadraty:

Zawodnik	X	Y	Ranga X	Ranga Y	$d$	$d^{2}$
1	5	7	7	5.5	1.5	2.25
2	9	8	1	3	-2	4
3	3	6	10	7.5	2.5	6.25
4	8	7	2.5	5.5	-3	9
5	6	8	5.5	3	2.5	6.25
6	7	5	4	9.5	-5.5	30.25
7	4	10	8.5	1	7.5	56.25
8	8	6	2.5	7.5	-5	25
9	4	5	8.5	9.5	-1	1
10	6	8	5.5	3	2.5	6.25

Wobec tego:
$\sum d_{i}^{2} = 2.25+4+6.25+9+$ $6.25+30.25+56.25$ $+25+1+6.25=146.5$

Na końcu obliczamy współczynnik rang Supermana:
$r_{s} = 1 - \frac{6 \sum_{i=1}^{n} d_{i}^{2}}{n \ \left(n^{2} - 1\right)} = 1 - \frac{6 \cdot 146.5}{10\left(100-1\right)} =$ $1 - \frac{879}{990} = \frac{111}{990} = \frac{37}{330} \approx 0,11$

Odpowiedź: Współczynnik rang Spearmana wynosi 0,11 i oznacza ono korelację słabą.

Bibliografia:

Statystyka ogólna, pod red. Michała Woźniaka, Wyd. 3 poprawione, Kraków, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, 2002, ISBN 83-7252-113-1
Maksimowicz-Ajchel Alicja, Wstęp do statystyki: Metody opisu statystycznego, Warszawa, Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego, 2007, ISBN 978-83-235-0267-8

Korelacja Spearmana – kurs

Schemat:

Zapisujemy dane w tabeli (jeżeli nie są w niej podane).
Tworzymy nowe 2 kolumny: nadajemy wartościom X i Y rankingi Dx i Dy- od największej do najmniejszej.
Tworzymy 5. Kolumnę z kwadratami różnic rankingów.
Sumujemy i podstawiamy do wzoru.
Interpretacja.

To jest popularny typ zadania

PDFy które możesz wydrukować
Lekcja video | Zadania

Lekcja 1 - Korelacja Spearmana 11:35

Filmik się nie ładuje? Odśwież stronę Pomoc

Zbadano zależność między miedzy długością serii produkcyjnej a jednostkowym kosztem produkcji i otrzymano dane zestawione w poniższej tabeli. Proszę obliczyć współczynnik korelacji Spearmana.

Długość serii X (szt) 80 90 100 110

Koszt jednostkowy Y (zł) 12 9 8 7

Wzór na współczynnik korelacji rang Spearmana

Czym są rangi Spearmana?

Intrepretacja współczynnika korelacji rang Spearmana

Korelacja rang Spearmana a korelacja Pearsona

Przykład 2.

Przykład 3.

Istotność korelacji Spearmana

Typowy przykład

Korelacja Spearmana – kurs

Lekcja 1 - Korelacja Spearmana 11:35

Zbadano zależność między miedzy długością serii produkcyjnej a jednostkowym kosztem produkcji i otrzymano dane zestawione w poniższej tabeli. Proszę obliczyć współczynnik korelacji Spearmana.

Długość serii X (szt) 80 90 100 110

Koszt jednostkowy Y (zł) 12 9 8 7

Komentarze

Dodaj komentarz Anuluj odpowiedź

Długość serii X (szt)	80	90	100	110
Koszt jednostkowy Y (zł)	12	9	8	7

Współczynnik korelacji rang Spearmana

Wzór na współczynnik korelacji rang Spearmana

Czym są rangi Spearmana?

Intrepretacja współczynnika korelacji rang Spearmana

Korelacja rang Spearmana a korelacja Pearsona

Przykład 2.

Przykład 3.

Istotność korelacji Spearmana

Typowy przykład

Korelacja Spearmana – kurs

Lekcja 1 - Korelacja Spearmana 11:35

Zbadano zależność między miedzy długością serii produkcyjnej a jednostkowym kosztem produkcji i otrzymano dane zestawione w poniższej tabeli. Proszę obliczyć współczynnik korelacji Spearmana. Długość serii X (szt) 80 90 100 110 Koszt jednostkowy Y (zł) 12 9 8 7

Komentarze

Dodaj komentarz Anuluj odpowiedź

Zbadano zależność między miedzy długością serii produkcyjnej a jednostkowym kosztem produkcji i otrzymano dane zestawione w poniższej tabeli. Proszę obliczyć współczynnik korelacji Spearmana.

Długość serii X (szt) 80 90 100 110

Koszt jednostkowy Y (zł) 12 9 8 7